DP AWO/TPO16 Jan 2026Shift 1Probability, Permutation & Combination

A club has 5 painters, 4 dancers, and 3 singers. A committee of 5 people is to be formed such that it includes at least 2 painters and at least 1 dancer, but not more than 1 singer. How many such committees are possible?

एक क्लब में 5 चित्रकार, 4 नर्तक और 3 गायक हैं। 5 सदस्यों की एक समिति इस प्रकार बनानी है कि उसमें कम से कम 2 चित्रकार और कम से कम 1 नर्तक हों, लेकिन 1 से अधिक गायक न हों। ऐसी कितनी विभिन्न समितियाँ बनाई जा सकती हैं?

Answer और ExplanationAnswer and explanation

Answer: (D) 420

5 सदस्यों की समिति जिसमें चित्रकार (P) ≥ 2, नर्तक (D) ≥ 1 और गायक (S) ≤ 1। स्थितियों की तालिका बनाएँ (P + D + S = 5):
S = 0 के साथ (P + D = 5):
(P, D) = (4, 1): 5C4 × 4C1 = 5 × 4 = 20
(P, D) = (3, 2): 5C3 × 4C2 = 10 × 6 = 60
(P, D) = (2, 3): 5C2 × 4C3 = 10 × 4 = 40
जोड़ = 120
S = 1 के साथ (P + D = 4), गायक 3C1 = 3 तरीकों से चुना जाएगा:
(P, D) = (3, 1): 10 × 4 × 3 = 120
(P, D) = (2, 2): 10 × 6 × 3 = 180
जोड़ = 300
कुल समितियाँ = 120 + 300 = 420
✓
420 समितियाँ बन सकती हैं।
Committee of 5 with painters (P) ≥ 2, dancers (D) ≥ 1 and singers (S) ≤ 1. Make a case table (P + D + S = 5):
With S = 0 (P + D = 5):
(P, D) = (4, 1): 5C4 × 4C1 = 5 × 4 = 20
(P, D) = (3, 2): 5C3 × 4C2 = 10 × 6 = 60
(P, D) = (2, 3): 5C2 × 4C3 = 10 × 4 = 40
Sum = 120
With S = 1 (P + D = 4), singer chosen in 3C1 = 3 ways:
(P, D) = (3, 1): 10 × 4 × 3 = 120
(P, D) = (2, 2): 10 × 6 × 3 = 180
Sum = 300
Total committees = 120 + 300 = 420
✓
420 committees are possible.
SMART APPROACH

पहले गायक के हिसाब से बाँटें: कोई गायक नहीं → 120, एक गायक → 3 × (40 + 60) = 300। कुल = 420। हर पंक्ति जाँचें: P ≥ 2, D ≥ 1, और पंक्ति का जोड़ 5 हो।

Group by the singer first: no singer gives 120, one singer gives 3 × (40 + 60) = 300. Total = 420. Check every row: P ≥ 2, D ≥ 1, and the row adds to 5.

Source: DP AWO/TPO · 16 Jan 2026 · Shift 1। Solution: Prashant Sir, Vijayastra।Source: DP AWO/TPO · 16 Jan 2026 · Shift 1. Solution by Prashant Sir, from Vijayastra.