DP HCM10 Jan 2026Shift 1Coordinate Geometry

The urban planning team of Greenwood City is designing a triangular park with corner points at A(2, 3), B(6, 7), and C(2, 11). For safety and accessibility, they plan to install an emergency siren at a location that is equidistant from all three corners of the park. Help the engineers determine the exact coordinates of the circumcentre of triangle ABC, where the siren should be placed.

ग्रीनवुड सिटी की शहरी नियोजन टीम एक त्रिकोणीय पार्क का डिज़ाइन तैयार कर रही है, जिसके तीन कोने बिंदु (Point) A(2, 3), B(6, 7), और C(2, 11) पर स्थित हैं। सुरक्षा और सुगमता को ध्यान में रखते हुए, टीम पार्क के तीनों कोनों से समान दूरी पर एक आपातकालीन सायरन स्थापित करने की योजना बना रही है। अभियंताओं की सहायता करें कि वे त्रिभुज (Triangle) ABC के परिकेन्द्र (circumcentre) के सटीक निर्देशांक (Coordinates) निर्धारित कर सकें, जहाँ यह सायरन लगाया जाएगा।

XYOA(2, 3)B(6, 7)C(2, 11)(2, 7)
Answer और ExplanationAnswer and explanation

Answer: (B) (2, 7)

AB का ढाल (Slope) = 7 − 36 − 2 = 1; BC का ढाल = 11 − 72 − 6 = −1
1 × (−1) = −1 ⇒ AB ⊥ BC, तो ∠B = 90° और AC कर्ण (Hypotenuse) है।
परिकेंद्र (Circumcentre) = AC का मध्य-बिंदु (Midpoint) = (2 + 22, 3 + 112) = (2, 7)
जाँच: OA = 4, OC = 4, OB = √16 + 0 = 4 ✓
✓
सायरन (2, 7) पर लगेगा।
Slope of AB = 7 − 36 − 2 = 1; slope of BC = 11 − 72 − 6 = −1
1 × (−1) = −1 ⇒ AB ⊥ BC, so ∠B = 90° and AC is the hypotenuse.
Circumcentre = midpoint of AC = (2 + 22, 3 + 112) = (2, 7)
Check: OA = 4, OC = 4, OB = √16 + 0 = 4 ✓
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The siren goes at (2, 7).
SMART APPROACH

A और C दोनों का x = 2 है, तो AC ऊर्ध्वाधर है और उसका मध्य-बिंदु (Midpoint) (2, 7) है। B(6, 7) इस बिंदु से ठीक 4 इकाई दाईं ओर है, और A, C इससे 4 इकाई नीचे और ऊपर हैं। तीनों 4 की दूरी पर हैं, इसलिए उत्तर (2, 7) है।

A and C both have x = 2, so AC is vertical with midpoint (2, 7). B(6, 7) is exactly 4 units to the right of that point, and A and C are 4 units below and above it. All three are 4 away, so the answer is (2, 7).

Source: DP HCM · 10 Jan 2026 · Shift 1। Solution: Prashant Sir, Vijayastra।Source: DP HCM · 10 Jan 2026 · Shift 1. Solution by Prashant Sir, from Vijayastra.