Vijayastra · Revision

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हर Chapter के Quick Revision Points और Formula Sheet एक ही पेज पर। Exam से पहले की रात इसे पढ़िए।Every chapter's quick revision points and formula sheet on one page. Read it the night before the exam.

1. Number System Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

0 is a whole number but not a natural number; 1 is neither prime nor composite; 2 is the only even prime.0 पूर्ण संख्या (Whole number) है, लेकिन प्राकृत संख्या (Natural number) नहीं; 1 न अभाज्य (Prime) है, न भाज्य (Dividend); 2 अकेली सम अभाज्य संख्या (Prime number) है।
Reduce a fraction first; then only 2s and 5s in the denominator ⇒ terminating decimal.पहले भिन्न (Fraction) को सरल करें; फिर हर (Denominator) में सिर्फ़ 2 और 5 हों ⇒ दशमलव (Decimal) सांत है।
Irrational + irrational can be rational: √2 + (−√2) = 0.अपरिमेय (Irrational) + अपरिमेय, परिमेय (Rational) भी हो सकता है: √2 + (−√2) = 0।
A square never ends in 2, 3, 7 or 8, and its zeros at the end come in pairs.वर्ग (Square) कभी 2, 3, 7 या 8 पर खत्म नहीं होता, और उसके अंत के शून्य जोड़ियों में आते हैं।
Split a composite divisor only into co-prime parts: 24 = 3 × 8, never 4 × 6.भाज्य (Dividend) भाजक (Composite divisor) को सिर्फ़ सह-अभाज्य (Co-prime) हिस्सों में तोड़ें: 24 = 3 × 8, 4 × 6 कभी नहीं।
Rule of 11: count places from the right; a difference of 0, 11, 22 … all work.11 का नियम: स्थान दाईं ओर से गिनें; अंतर 0, 11, 22, … में से कुछ भी हो, संख्या 11 से विभाज्य (Divisible) है।
Shuffling digits keeps divisibility by 3 and 9 only.अंकों (Digits) का क्रम बदलने पर सिर्फ़ 3 और 9 की विभाज्यता (Divisibility) बची रहती है।
Least number to subtract = remainder; least number to add = divisor − remainder.घटाने वाली सबसे छोटी संख्या = शेषफल (Remainder); जोड़ने वाली सबसे छोटी संख्या = भाजक (Divisor) − शेषफल।
For unit digits, reduce the power mod 4; remainder 0 means the 4th power, not the 0th.इकाई अंक (Unit digit) के लिए घात (Power) को 4 से भाग दो; शेषफल (Remainder) 0 का मतलब चौथी घात है, शून्य घात नहीं।
In remainder questions, look for a base that is 1 more or 1 less than the divisor. The power then becomes ±1.शेषफल (Remainder) वाले प्रश्नों में देखें कि आधार, भाजक (Divisor) से 1 ज़्यादा या 1 कम तो नहीं। तब घात (Power) सीधे ±1 बन जाती है।
The divisor is always greater than the remainder; use this to reject options.भाजक (Divisor) हमेशा शेषफल (Remainder) से बड़ा होता है; इससे विकल्प हटाएँ।
Number of factors = product of (power + 1); for conditions, fix the powers and count the free choices.गुणनखंडों (Factors) की संख्या = (घात (Power) + 1) का गुणनफल (Product); शर्त हो तो घातें तय करें और बचे हुए खुले विकल्प गिनें।
Zeros at the end of n! = n ÷ 5 + n ÷ 25 + n ÷ 125 + … (integer parts).n! के अंत के शून्य = n ÷ 5 + n ÷ 25 + n ÷ 125 + … (सिर्फ़ पूर्णांक (Integer) भाग)।
Sum of a list = number of terms × average term; for consecutive numbers the middle one is the average.किसी सूची का योग = पदों (Terms) की संख्या × औसत (Average) पद; क्रमागत संख्याओं में बीच वाली संख्या ही औसत है।
Two-digit number = 10a + b; number ± reverse = 11(a + b) or 9(a − b).दो अंकों की संख्या = 10a + b; संख्या ± उल्टी संख्या = 11(a + b) या 9(a − b)।
Divisible by both a and b ⇒ divisible by LCM(a, b); a but not b = n(a) − n(both).a और b दोनों से विभाज्य (Divisible) ⇒ LCM(a, b) से विभाज्य; "a से लेकिन b से नहीं" = n(a) − n(दोनों)।
Missing digit: fix the digit inside the last-digits rule (2, 4, 5, 8) first, then use the digit sum or the rule of 11; for a maximum or minimum, list every possibility.लुप्त अंक (Missing digit): पहले आखिरी अंकों वाले नियम (2, 4, 5, 8) से अंक तय करें, फिर अंकों का योग या 11 का नियम लगाएँ; "अधिकतम" या "न्यूनतम" में हर संभावना लिखें।
Product of two consecutive odd or even numbers = (middle number)² − 1: add 1 and take the square root.दो क्रमागत विषम या सम संख्याओं (Even number) का गुणनफल (Product) = (बीच वाली संख्या)² − 1: गुणनफल में 1 जोड़ें और वर्गमूल (Square root) लो।
Digital root = remainder on dividing by 9. A product's digital root equals the product of the digital roots; squares have digital root 1, 4, 7 or 9 only.Digital root = 9 से भाग देने पर शेषफल। गुणनफल (Product) का digital root, digital roots के गुणनफल के बराबर होता है; वर्गों का digital root सिर्फ़ 1, 4, 7 या 9 होता है।
Cube roots: unit digit table 2 ↔ 8, 3 ↔ 7, others unchanged; cut the last three digits to get the tens digit.घनमूल (Cube root): इकाई अंक (Unit digit) table 2 ↔ 8, 3 ↔ 7, बाकी वही; आखिरी तीन अंक हटाकर दहाई का अंक पता करें।
Octal groups bits in threes, hexadecimal in fours (A = 10 … F = 15).Octal में bits तीन-तीन के समूह में और hexadecimal में चार-चार के समूह में बाँटते हैं (A = 10 … F = 15)।

Types of numbers

N = {1, 2, 3, …}; W = {0, 1, 2, …}; Z = {…, −1, 0, 1, …}; N ⊂ W ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R
Rational = pq (q ≠ 0): terminating or repeating decimal; irrational: non-terminating, non-repeatingपरिमेय (Rational) = pq (q ≠ 0): दशमलव (Decimal) सांत या आवर्ती; अपरिमेय (Irrational): दशमलव न खत्म हो, न दोहराए
pq in lowest terms terminates ⇔ q has only the primes 2 and 5सरलतम रूप में pq का दशमलव (Decimal) सांत ⇔ q में सिर्फ़ अभाज्य (Prime) संख्याएँ (Primes) 2 और 5 हों
0.ab = ab99; 0.ab = ab − a90
rational ± irrational = irrational; irrational ± irrational = eitherपरिमेय (Rational) ± अपरिमेय (Irrational) = अपरिमेय; अपरिमेय ± अपरिमेय = कुछ भी

Primes, squares and place value

25 primes up to 100; 2 is the only even prime; 1 is neither prime nor composite100 तक 25 अभाज्य (Prime) संख्याएँ (Primes); 2 अकेली सम अभाज्य संख्या (Prime number); 1 न अभाज्य है, न भाज्य (Dividend) संख्या (Composite)
Prime test: divide by primes ≤ √N; co-prime ⇔ HCF = 1अभाज्य जाँच: √N तक की अभाज्य संख्याओं (Primes) से भाग दो; सह-अभाज्य (Co-prime) ⇔ HCF = 1
Perfect square ⇔ all prime powers even; squares end only in 0, 1, 4, 5, 6, 9पूर्ण वर्ग (Perfect square) ⇔ अभाज्य गुणनखंडों (Prime factor) की सारी घातें (Powers) सम; वर्ग सिर्फ़ 0, 1, 4, 5, 6, 9 पर खत्म होते हैं
Non-squares between n² and (n + 1)² = 2nn² और (n + 1)² के बीच वर्ग न होने वाली संख्याएँ = 2n
Digits used for pages 1 to n (100 ≤ n ≤ 999) = 3n − 108पेज 1 से n तक लगे अंक (Digits) (100 ≤ n ≤ 999) = 3n − 108
Binary place values 1, 2, 4, 8, 16, …; k ones in binary = 2^k − 1द्विआधारी (Binary) स्थानीय मान (Place value) 1, 2, 4, 8, 16, …; द्विआधारी में k बार 1 = 2^k − 1
Digit 1–9 appears k × 10^k−1 times from 1 to 10^k − 1 (0: 9 times up to 99, 189 times up to 999)1 से 10^k − 1 तक अंक 1–9 कुल k × 10^k−1 बार आता है (0: 99 तक 9 बार, 999 तक 189 बार)
φ(N) = N(1 − 1p)(1 − 1q)…; prime p > 3 ⇒ p² − 1 divisible by 24; 3, 5, 7 is the only prime triple p, p + 2, p + 4φ(N) = N(1 − 1p)(1 − 1q)…; अभाज्य (Prime) p > 3 ⇒ p² − 1, 24 से विभाज्य (Divisible); अभाज्य त्रयी p, p + 2, p + 4 केवल 3, 5, 7

Divisibility

2, 4, 8, 16 → last 1, 2, 3, 4 digits; 5, 25, 125 → last 1, 2, 3 digits2, 4, 8, 16 → आखिरी 1, 2, 3, 4 अंक; 5, 25, 125 → आखिरी 1, 2, 3 अंक
3, 9 → digit sum; 11 → (odd-place sum − even-place sum) = 0 or multiple of 113, 9 → अंकों (Digits) का योग; 11 → (विषम स्थानों का योग − सम स्थानों का योग) = 0 या 11 का गुणज (Multiple)
7, 11, 13 → alternating sum of 3-digit groups; 1001 = 7 × 11 × 137, 11, 13 → तीन-तीन अंकों के समूहों का बारी-बारी योग-अंतर; 1001 = 7 × 11 × 13
Composite divisor → co-prime parts (72 = 8 × 9, 88 = 8 × 11, 36 = 4 × 9)भाज्य (Dividend) भाजक (Composite divisor) → सह-अभाज्य (Co-prime) हिस्से (72 = 8 × 9, 88 = 8 × 11, 36 = 4 × 9)
aⁿ − bⁿ ÷ (a − b) always; ÷ (a + b) if n even; aⁿ + bⁿ ÷ (a + b) if n oddaⁿ − bⁿ, (a − b) से हमेशा विभाज्य (Divisible); (a + b) से तब, जब n सम हो; aⁿ + bⁿ, (a + b) से तब, जब n विषम हो
abcabc = abc × 1001; abab = ab × 101; ab + ba = 11(a + b); ab − ba = 9(a − b)
Multiples of d from a to b = ⌊bd⌋ − ⌊a − 1d⌋; n(A or B) = n(A) + n(B) − n(A and B)a से b तक d के गुणज (Multiples) = ⌊bd⌋ − ⌊a − 1d⌋; n(A या B) = n(A) + n(B) − n(A और B)
Osculator: divisor ending in 9 ⇒ add last digit × M + 110; ending in 1 ⇒ subtract last digit × M − 110 (7: −2, 13: +4, 17: −5, 19: +2)ऑस्क्युलेटर: भाजक (Divisor) के अंत में 9 ⇒ अंतिम अंक × M + 110 जोड़ें; अंत में 1 ⇒ अंतिम अंक × M − 110 घटाएँ (7: −2, 13: +4, 17: −5, 19: +2)
99 → sum of 2-digit groups; 999 → sum of 3-digit groups; 101 → alternating sum of 2-digit groups; 8 → last two digits (+4 if the hundreds digit is odd)99 → 2-अंकीय समूहों का योग; 999 → 3-अंकीय समूहों का योग; 101 → 2-अंकीय समूहों का एकांतर योग; 8 → अंतिम दो अंक (सैकड़े का अंक विषम हो तो +4)
n(A or B or C) = Σn(single) − Σn(pairs) + n(all three), with overlaps counted by the LCMn(A या B या C) = Σn(एकल) − Σn(जोड़े) + n(तीनों), अतिव्याप्ति LCM से गिनी जाती है

Unit digit and remainders

Cyclicity: 0, 1, 5, 6 → 1; 4, 9 → 2; 2, 3, 7, 8 → 4 (reduce the power mod 4; remainder 0 → use 4)चक्रीयता (Cyclicity): 0, 1, 5, 6 → 1; 4, 9 → 2; 2, 3, 7, 8 → 4 (घात (Power) को 4 से भाग दो; शेषफल (Remainder) 0 हो तो चौथी घात लो)
Dividend = Divisor × Quotient + Remainder, 0 ≤ R < Divisorभाज्य (Dividend) = भाजक (Divisor) × भागफल (Quotient) + शेषफल (Remainder), 0 ≤ शेषफल < भाजक
N ÷ D leaves r, d | D ⇒ N ÷ d leaves r ÷ d's remainderN ÷ D का शेषफल (Remainder) r, d | D ⇒ N ÷ d का शेषफल = r ÷ d का शेषफल
Remainders a, b; sum leaves s, with a + b > s ⇒ divisor = a + b − s (if a + b = s there is no wrap-around and the divisor is not fixed)शेषफल (Remainders) a, b; योग का शेषफल s, और a + b > s ⇒ भाजक (Divisor) = a + b − s (a + b = s हो तो कोई चक्र नहीं बना, भाजक तय नहीं होता)
Remainders multiply and add; a ≡ −1 ⇒ a^even → 1, a^odd → −1शेषफलों (Remainders) का गुणा और जोड़ संख्याओं की तरह ही होता है; a ≡ −1 ⇒ a^सम → 1, a^विषम → −1
Fermat: p prime, p ∤ a ⇒ a^p−1 ÷ p leaves 1; f(x) ÷ (x − a) leaves f(a)फ़र्मा (Fermat): p अभाज्य (Prime), p ∤ a ⇒ a^p−1 ÷ p का शेषफल (Remainder) 1; f(x) ÷ (x − a) का शेषफल f(a)
Last two digits: a co-prime to 10 ⇒ a²⁰ ends in 01; (10m + 1)ⁿ ends in (last digit of mn) then 1; 4^odd → 4, 4^even → 6; 9^odd → 9, 9^even → 1अंतिम दो अंक: a, 10 का सह-अभाज्य (Co-prime) ⇒ a²⁰ के अंत में 01; (10m + 1)ⁿ का अंत (mn का अंतिम अंक) फिर 1; 4^विषम → 4, 4^सम → 6; 9^विषम → 9, 9^सम → 1
Wilson: p prime ⇒ (p − 1)! leaves p − 1 and (p − 2)! leaves 1 on division by pविल्सन: p अभाज्य (Prime) ⇒ p से भाग देने पर (p − 1)! का शेषफल (Remainder) p − 1 और (p − 2)! का शेषफल 1
Euler: gcd(a, n) = 1 ⇒ a^φ(n) ÷ n leaves 1 (works for composite n)यूलर: gcd(a, n) = 1 ⇒ a^φ(n) ÷ n का शेषफल (Remainder) 1 (भाज्य (Dividend) n पर भी चलता है)

Factors and factorials

N = p^a q^b r^c: number of factors = (a + 1)(b + 1)(c + 1)N = p^a q^b r^c: गुणनखंडों (Factors) की संख्या = (a + 1)(b + 1)(c + 1)
Sum of factors = (1 + p + … + p^a)(1 + q + … + q^b)…; product = N^d2गुणनखंडों (Factors) का योग = (1 + p + … + p^a)(1 + q + … + q^b)…; गुणनफल (Product) = N^d2
Odd factors: drop the power of 2; exactly 3 factors ⇔ (prime)²; odd number of factors ⇔ perfect squareविषम गुणनखंड (Odd factors): 2 की घात (Power) हटा दें; ठीक 3 गुणनखंड ⇔ (अभाज्य संख्या (Prime number))²; गुणनखंडों की संख्या विषम ⇔ पूर्ण वर्ग (Perfect square)
n divides N leaving r ⇒ n | (N − r) and n > rn, N को भाग देकर r छोड़े ⇒ n | (N − r) और n > r
Power of p in n! = ⌊np⌋ + ⌊np²⌋ + …; zeros of n! = power of 5n! में p की घात (Power) = ⌊np⌋ + ⌊np²⌋ + …; n! के अंत के शून्य = 5 की घात
Trailing zeros of a product = min(power of 2, power of 5)गुणनफल (Product) के अंत के शून्य = min(2 की घात (Power), 5 की घात)
Ways as a product of two factors = d2 (d + 12 for a square); co-prime pairs = 2^k−1; sum of reciprocals of factors = sum of factorsNदो गुणनखंडों (Factor) के गुणनफल (Product) के तरीके = d2 (वर्ग पर d + 12); सह-अभाज्य (Co-prime) जोड़े = 2^k−1; गुणनखंडों के व्युत्क्रमों का योग = गुणनखंडों का योगN
Zeros of n! rise only at multiples of 5 (by 2 at multiples of 25); last non-zero digit = unit digit of 2^x−y × m, where n! = 2^x 5^y mn! के शून्य केवल 5 के गुणजों (Multiple) पर बढ़ते हैं (25 के गुणजों पर 2 से); अंतिम अशून्य अंक = 2^x−y × m का इकाई अंक (Unit digit), जहाँ n! = 2^x 5^y m

Series and number puzzles

Terms = last − firstd + 1; Sum = terms × first + last2पद (Terms) = आखिरी − पहलाd + 1; योग = पदों की संख्या × पहला + आखिरी2
Σn = n(n + 1)2; Σn² = n(n + 1)(2n + 1)6; Σn³ = [n(n + 1)2]²
First n odd numbers = n²; first n even numbers = n(n + 1)पहली n विषम संख्याओं (Odd numbers) का योग = n²; पहली n सम संख्याओं (Even numbers) का योग = n(n + 1)
Consecutive (odd number of terms): middle = sum ÷ terms; (n + 2)² − n² = 2 × (sum of the two)क्रमागत संख्याएँ (पदों की संख्या विषम): बीच वाला पद = योग ÷ पदों की संख्या; (n + 2)² − n² = 2 × (दोनों का योग)
Sum S, difference D ⇒ numbers S + D2 and S − D2योग S, अंतर D ⇒ संख्याएँ S + D2 और S − D2

2. LCM and HCF Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

Before calculating, ask: will the answer divide the numbers (HCF) or be divisible by them (LCM)?गणना करने से पहले पूछें: उत्तर संख्याओं को भाग देगा (HCF) या उनसे विभाज्य (Divisible) होगा (LCM)?
HCF takes common primes with the lowest powers; LCM takes all primes with the highest powers.महत्तम समापवर्तक (HCF) में उभयनिष्ठ (Common) अभाज्य संख्याएँ (Prime number) सबसे छोटी घातों (Powers) के साथ; लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) में सारी अभाज्य संख्याएँ सबसे बड़ी घातों के साथ।
HCF always divides LCM; use this to strike out "which can be the LCM/HCF" options at once.महत्तम समापवर्तक (HCF) हमेशा लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) को भाग देता है; "कौन-सा LCM/HCF हो सकता है" वाले विकल्प इसी से तुरंत कट जाते हैं।
HCF × LCM = product works for two numbers only.HCF × LCM = गुणनफल (Product) केवल दो संख्याओं के लिए सच है।
Write two numbers as Hx and Hy with x, y co-prime. This one picture handles ratio, sum, difference and pair-counting questions.दो संख्याओं को Hx और Hy लिखें, जहाँ x और y सह-अभाज्य (Co-prime) हों। यही एक चित्र अनुपात (Ratio), योग, अंतर और युग्म गिनने वाले प्रश्न हल कर देता है।
In a ratio question, k is the HCF and LCM = k × (product of co-prime ratio terms).अनुपात (Ratio) वाले प्रश्न में k ही HCF है, और LCM = k × (सह-अभाज्य (Co-prime) अनुपात पदों का गुणनफल (Product))।
Reduce fractions to lowest terms before finding their HCF or LCM.भिन्नों (Fractions) का महत्तम समापवर्तक (HCF) या लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) निकालने से पहले उन्हें न्यूनतम पदों (Lowest terms) में लाओ।
Fractions: HCF = HCF of numeratorsLCM of denominators; LCM = LCM of numeratorsHCF of denominators.भिन्न (Fractions): HCF = अंशों का HCFहरों का LCM; LCM = अंशों का LCMहरों का HCF।
Divisible by 6 and 8 means divisible by 24 (their LCM), not 48.6 और 8 से विभाज्य (Divisible) का मतलब 24 (लघुत्तम समापवर्त्य (LCM)) से विभाज्य, 48 से नहीं।
Least perfect square: find the LCM and multiply by every prime that has an odd power.सबसे छोटा पूर्ण वर्ग (Perfect square): LCM निकालें और उसे हर उस अभाज्य संख्या (Prime number) से गुणा करें जिसकी घात (Power) विषम (Odd) है।
Unknown divisor (greatest) → HCF after removing the remainders; unknown number being divided (least) → LCM, then add r or subtract the gap.अज्ञात भाजक (Divisor) जो सबसे बड़ा हो → शेषफल (Remainder) हटाकर महत्तम समापवर्तक (HCF); अज्ञात भाज्य संख्या (Composite number) जो सबसे छोटी हो → लघुत्तम समापवर्त्य (LCM), फिर r जोड़ें या अंतर घटाएँ।
A remainder is always smaller than the divisor, so in HCF-with-remainder questions the answer must be bigger than every remainder.शेषफल (Remainder) हमेशा भाजक (Divisor) से छोटा होता है, इसलिए शेषफल वाले महत्तम समापवर्तक (HCF) प्रश्नों में उत्तर हर शेषफल से बड़ा होना चाहिए।
Same unknown remainder → take the HCF of the differences.एक जैसा अज्ञात शेषफल (Remainder) → अंतरों का महत्तम समापवर्तक (HCF) लो।
Different remainders: check divisor − remainder; if it is constant d, the number is LCM × k − d.अलग-अलग शेषफल (Remainders): भाजक (Divisor) − शेषफल देखें; अगर यह एक जैसा d है, तो संख्या LCM × k − d है।
Tiles: convert to the same unit, side = HCF, count = Ls × Bs, which is the product of the two terms of L : B in lowest terms.टाइलें: सब एक इकाई में बदलें, भुजा (Side) = HCF, संख्या = Ls × Bs, यानी न्यूनतम पदों वाले L : B के दोनों पदों का गुणनफल।
Bells and runners: together after the LCM; count TLCM and add 1 only if the start is included.घंटियाँ और धावक: LCM के बाद एक साथ; TLCM गिनें और शुरुआत शामिल हो तभी 1 जोड़ें।

Basics

HCF = greatest number dividing all the given numbers; LCM = least number divisible by all of themHCF = सारी दी गई संख्याओं को भाग देने वाली सबसे बड़ी संख्या; LCM = वह सबसे छोटी संख्या जो उन सबसे विभाज्य (Divisible) हो
HCF ≤ smallest number; LCM ≥ largest number; HCF always divides LCMमहत्तम समापवर्तक (HCF) ≤ सबसे छोटी संख्या; लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) ≥ सबसे बड़ी संख्या; HCF हमेशा LCM को भाग देता है
Prime factorisation: HCF = common primes, lowest powers; LCM = all primes, highest powersअभाज्य गुणनखंडन (Prime factorisation): HCF = उभयनिष्ठ (Common) अभाज्य संख्याएँ (Prime number), सबसे छोटी घातें (Powers); LCM = सारी अभाज्य संख्याएँ, सबसे बड़ी घातें
Euclid: HCF(a, b) = HCF(b, a mod b); HCF divides every difference of the numbersयूक्लिड (Euclid): HCF(a, b) = HCF(b, a ÷ b का शेषफल (Remainder)); HCF संख्याओं के हर अंतर को भाग देता है
Two co-prime numbers: HCF = 1, LCM = product (for three or more, LCM = product only if every pair is co-prime). Two different primes are co-primeदो सह-अभाज्य (Co-prime) संख्याएँ: HCF = 1, LCM = गुणनफल (तीन या ज़्यादा में LCM = गुणनफल तभी, जब हर जोड़ी सह-अभाज्य हो)। दो अलग अभाज्य संख्याएँ (Primes) हमेशा सह-अभाज्य होती हैं

Two numbers

HCF × LCM = product of the two numbers (only for two numbers)HCF × LCM = दोनों संख्याओं का गुणनफल (केवल दो संख्याओं के लिए)
Numbers = Hx, Hy with x, y co-prime; LCM = Hxyसंख्याएँ = Hx, Hy, x और y सह-अभाज्य (Co-prime); LCM = Hxy
xy = LCMHCF; x + y = SumHCF; x − y = DifferenceHCF; xy = ProductHCF²xy = LCMHCF; x + y = योगHCF; x − y = अंतरHCF; xy = गुणनफलHCF²
Ratio a : b (lowest terms): numbers ak, bk; HCF = k; LCM = abkअनुपात (Ratio) a : b (न्यूनतम पदों में): संख्याएँ ak, bk; HCF = k; LCM = abk
Co-prime pairs with product N = 2^{n − 1}, n = number of distinct primes of N (N > 1)गुणनफल (Product) N वाले सह-अभाज्य (Co-prime) युग्म = 2^{n − 1}, n = N की अलग-अलग अभाज्य संख्याओं (Primes) की गिनती (N > 1)

Properties

HCF(A, B, C) = HCF(HCF(A, B), C); LCM(A, B, C) = LCM(LCM(A, B), C)
If a divides b: HCF = a, LCM = bअगर a, b को भाग दे: HCF = a, LCM = b
HCF(ka, kb) = k × HCF(a, b); LCM(ka, kb) = k × LCM(a, b)

Fractions and decimals

HCF of fractions = HCF of numeratorsLCM of denominatorsभिन्नों (Fractions) का HCF = अंशों का HCFहरों का LCM
LCM of fractions = LCM of numeratorsHCF of denominators (reduce fractions first)भिन्नों (Fractions) का LCM = अंशों का LCMहरों का HCF (पहले भिन्नों को छोटा करें)
Decimals: equalise decimal places, remove the point, find HCF/LCM, put the point backदशमलव (Decimals): दशमलव के बाद के अंक बराबर करें, बिंदु (Point) हटाएँ, HCF/LCM निकालें, बिंदु वापस लगाएँ

Divisibility and squares

Divisible by each of a, b, c ⇔ divisible by LCM(a, b, c)a, b, c में से हर एक से विभाज्य (Divisible) ⇔ लघुत्तम समापवर्त्य (LCM)(a, b, c) से विभाज्य
Greatest n-digit multiple of L = greatest n-digit number − remainderL का n अंकों वाला सबसे बड़ा गुणज (Multiple) = n अंकों की सबसे बड़ी संख्या − शेषफल (Remainder)
Smallest n-digit multiple of L = smallest n-digit number + (L − remainder), unless the remainder is 0L का n अंकों वाला सबसे छोटा गुणज (Multiple) = n अंकों की सबसे छोटी संख्या + (L − शेषफल (Remainder)), जब तक शेषफल 0 न हो
Least non-negative number to add to N = (L − (N mod L)) mod L (0 if L divides N); to subtract = N mod LN में जोड़ी जाने वाली सबसे छोटी अऋणात्मक संख्या = (L − (N ÷ L का शेषफल (Remainder))) को L से भाग देने पर शेषफल (N विभाज्य (Divisible) हो तो 0); घटाई जाने वाली = वही शेषफल
Least perfect square divisible by given numbers = LCM × (primes with odd powers in the LCM)दी गई संख्याओं से विभाज्य (Divisible) सबसे छोटा पूर्ण वर्ग (Perfect square) = LCM × (LCM में विषम घात (Odd power) वाली अभाज्य संख्याएँ (Prime number))

Remainders

Greatest number dividing a, b, c leaving r₁, r₂, r₃ = HCF(a − r₁, b − r₂, c − r₃)a, b, c को भाग देकर r₁, r₂, r₃ शेषफल (Remainders) छोड़ने वाली सबसे बड़ी संख्या = HCF(a − r₁, b − r₂, c − r₃)
Greatest number leaving the same (unknown) remainder = HCF of the differencesएक जैसा (अज्ञात) शेषफल (Remainder) छोड़ने वाली सबसे बड़ी संख्या = अंतरों का HCF
Number leaving remainder r with each of a, b, c = LCM × k + r (0 ≤ r < every divisor); the least one bigger than the divisors is LCM + ra, b, c में से हर एक से शेषफल (Remainder) r छोड़ने वाली संख्या = LCM × k + r (0 ≤ r < हर भाजक (Divisor)); भाजकों से बड़ी सबसे छोटी संख्या LCM + r
Remainders with constant gap d = divisor − remainder: number = LCM × k − dस्थिर अंतर d = भाजक (Divisor) − शेषफल (Remainder): संख्या = LCM × k − d
Remainder r and divisible by m: number = LCM × k + r, least k that makes it divisible by mशेषफल (Remainder) r और m से विभाज्य (Divisible): संख्या = LCM × k + r, सबसे छोटा k जिससे m से विभाज्य हो

Applications

Greatest equal part / container / tile / group size = HCF (same units)सबसे बड़ा बराबर हिस्सा / बर्तन / टाइल / समूह का माप = HCF (एक ही इकाई में)
Number of largest square tiles on L × B = L × BHCF(L, B)²L × B पर सबसे बड़ी वर्गाकार टाइलों की संख्या = L × BHCF(L, B)²
Least number of equal parts = a + b + cHCFबराबर हिस्सों की न्यूनतम संख्या = a + b + cHCF
Bells / lights / runners together again after LCM of the intervalsघंटियाँ / लाइटें / धावक अंतरालों के लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) के बाद फिर एक साथ
Times together in period T = whole-number part of TLCM (+ 1 if the start is counted)T अवधि में एक साथ = TLCM का पूर्णांक (Integer) भाग (शुरुआत गिनें तो + 1)

3. Simplification and Approximation Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

÷ and × are one level, + and − are one level; inside a level always go left to right.÷ और × एक स्तर पर हैं, + और − एक स्तर पर; एक स्तर के अंदर हमेशा बाएँ से दाएँ हल करें।
"Of" is done before ÷ and ×: 36 ÷ 3 of 4 = 3, but 36 ÷ 3 × 4 = 48."Of" ÷ और × से पहले होता है: 36 ÷ 3 of 4 = 3, लेकिन 36 ÷ 3 × 4 = 48।
In a long + / − chain, add all positives and all negatives separately, then subtract once.लंबी + / − पंक्ति में सारे धनात्मक पद और सारे ऋणात्मक पद अलग-अलग जोड़ें, फिर एक बार घटाएँ।
A minus before a bracket flips every sign inside it.कोष्ठक (Bracket) से पहले का ऋण चिह्न अंदर के हर चिह्न को बदल देता है।
Mixed numbers: whole parts and fraction parts separately for + and −; improper fractions for × and ÷.मिश्रित संख्याएँ (Mixed numbers): + और − में पूर्ण भाग और भिन्न भाग अलग; × और ÷ में अनुचित भिन्न (Improper fractions)।
Continued fractions are solved from the bottom; "1 over a fraction" = flip it.सतत भिन्न (Continued fractions) नीचे से हल होते हैं; "1 बटा भिन्न" = उस भिन्न को उल्टा कर दें।
Series with denominators n(n + 1) telescope: sum = 1first factor − 1last factor; for a gap of k, multiply by 1k.n(n + 1) वाले हरों (Denominators) की श्रेणी (Series) सिमटकर छोटी हो जाती है: योग = 1पहला गुणनखंड − 1आख़िरी गुणनखंड; अंतर k हो तो 1k से गुणा करें।
Divide decimals by shifting both decimal points equally; ÷ 0.25 = × 4, ÷ 2.5 = × 0.4, ÷ 1.25 = × 0.8.दशमलवों (Decimals) का भाग: दोनों दशमलव बिंदु (Point) बराबर खिसकाओ; ÷ 0.25 = × 4, ÷ 2.5 = × 0.4, ÷ 1.25 = × 0.8।
Recurring decimals: 9s for the digits under the bar, 0s for the digits outside it.आवर्ती दशमलव (Recurring decimal): रेखा (Line) के नीचे वाले अंकों के लिए 9, बाहर वाले अंकों के लिए 0।
To compare fractions: decimals for many, cross-multiplication for two, "same gap" rule for patterns.भिन्नों (Fractions) की तुलना: बहुत सारे हों तो दशमलव (Decimal) में बदलें, दो हों तो तिर्यक गुणा (Cross-multiplication), पैटर्न हो तो "बराबर अंतर" वाला नियम।
Square root of a perfect square: unit digit gives two choices, the range of the first digits decides.पूर्ण वर्ग (Perfect square) का वर्गमूल (Square root): इकाई अंक (Unit digit) दो विकल्प देता है, शुरुआती अंकों की सीमा फ़ैसला करती है।
In decimal identity questions, a + b or a − b is usually a round number. That is the clue to look for.दशमलव (Decimal) वाले सर्वसमिका (Identity) प्रश्नों में a + b या a − b अक्सर गोल संख्या होती है। यही पहचान का संकेत है।
a³ ± b³a² ∓ ab + b² = a ± b, and a³ + b³ + c³ − 3abca² + b² + c² − ab − bc − ca = a + b + c.a³ ± b³a² ∓ ab + b² = a ± b, और a³ + b³ + c³ − 3abca² + b² + c² − ab − bc − ca = a + b + c।
If a + b + c = 0, then a³ + b³ + c³ = 3abc. Keep the sign of the negative term.अगर a + b + c = 0, तो a³ + b³ + c³ = 3abc। ऋणात्मक पद (Term) का चिह्न साथ रखें।
A fraction of the remaining part is multiplied: after taking pq of something, q − pq of it is left.बचे हुए हिस्से का भिन्न (Fraction) हमेशा गुणा होता है: किसी चीज़ का pq लेने के बाद उसका q − pq बचता है।
Decimal places: in a product, add the places; in a power, places × power; in a square root, half the places.दशमलव (Decimal) स्थान: गुणा में स्थानों का योग; घात (Power) में स्थान × घात; वर्गमूल (Square root) में आधे स्थान।
If the cube bases do not add up to 0 (like 44 + 35 − 53 = 26), the 3abc rule does not apply. Use sign, size and digit sum instead.अगर घनों (Cubes) की आधार संख्याओं का योग 0 नहीं है (जैसे 44 + 35 − 53 = 26), तो 3abc वाला नियम नहीं लगेगा। तब चिह्न, माप और अंक योग (Digit sum) से काम लो।
Before calculating, read the options: different sizes → estimate; different last digits → unit digit; same last digit → digit sum.गणना से पहले विकल्प पढ़ें: माप अलग → अंदाज़ा; आख़िरी अंक अलग → इकाई अंक (Unit digit); आख़िरी अंक एक जैसा → अंक योग (Digit sum)।
Number series: test differences, then × k ± c, then squares / cubes ± c, then products, then two interleaved series.संख्या श्रेणी (Series): पहले अंतर, फिर × k ± c, फिर वर्ग / घन ± c, फिर गुणनफल (Product), फिर दो गुँथी हुई श्रेणियाँ जाँचें।
For quantity comparison with equations, test every root of I against every root of II; mixed results mean no relation.समीकरणों (Equation) वाली तुलना में I के हर मूल को II के हर मूल से जाँचें; मिले-जुले परिणाम का मतलब कोई संबंध नहीं।
√N ≈ n + N − n²2n for the nearest perfect square n²; cube roots come from the last three digits and the table 2 ↔ 8, 3 ↔ 7.√N ≈ n + N − n²2n, जहाँ n² सबसे नज़दीकी पूर्ण वर्ग (Perfect square) है; घनमूल (Cube root) आखिरी तीन अंक और table 2 ↔ 8, 3 ↔ 7 से निकलता है।

Order of operations

VBODMAS: Vinculum → Brackets ( ) { } [ ] → Of / powers / roots → ÷ and × (left to right) → + and − (left to right)VBODMAS: रेखा (Line) कोष्ठक (Vinculum) → कोष्ठक ( ) { } [ ] → Of / घात (Powers) / मूल (Roots) → ÷ और × (बाएँ से दाएँ) → + और − (बाएँ से दाएँ)
a ÷ b of c = a ÷ (b × c); a ÷ b × c = (a ÷ b) × c
a − (b − c + d) = a − b + c − d

Fractions

abc = ac + bc; reciprocal of ab is baabc = ac + bc; ab का व्युत्क्रम (Reciprocal) ba है
ab ± cd = ad ± bcbd; ab ÷ cd = adbc
Mixed numbers (+, −): add whole parts and fraction parts separatelyमिश्रित संख्याएँ (Mixed numbers) (+, −): पूर्ण भाग और भिन्न (Fraction) भाग अलग-अलग जोड़ें
After taking pq of a quantity, q − pq of it remainsकिसी राशि का pq लेने के बाद उसका q − pq बचता है
Continued fraction: solve from the bottom; 1ab = baसतत भिन्न (Continued fraction): नीचे से हल करें; 1ab = ba

Fraction series

1n(n + 1) = 1n − 1n + 1; 1n(n + k) = 1k(1n − 1n + k)
11 × 2 + 12 × 3 + … + 1n(n + 1) = nn + 1
Denominators 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110 = n(n + 1); 3, 15, 35, 63, 99, 143 = (2n − 1)(2n + 1)हर (Denominators) 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110 = n(n + 1); 3, 15, 35, 63, 99, 143 = (2n − 1)(2n + 1)

Decimals and recurring decimals

18 = 0.125, 38 = 0.375, 58 = 0.625, 78 = 0.875, 116 = 0.0625
Decimal places in a product = sum of decimal places; in a power = decimal places × powerगुणनफल (Product) में दशमलव (Decimal) स्थान = दशमलव स्थानों का योग; घात (Power) में = दशमलव स्थान × घात
If a = kc and b = kd, then aⁿ + bⁿcⁿ + dⁿ = kⁿअगर a = kc और b = kd, तो aⁿ + bⁿcⁿ + dⁿ = kⁿ
0.a = a9; 0.ab = ab99; 0.abc = abc999
0.ab = ab − a90; 0.abc = abc − a990; 0.abc = abc − ab900; 0.9 = 1
111 = 0.09, 17 = 0.142857, 16 = 0.16

Comparison of fractions

ab > cd ⇔ ad > bc (b, d > 0)
Same gap (d − n) in proper fractions: larger numbers → larger fractionउचित भिन्नों (Proper fractions) में अंतर (d − n) बराबर हो: बड़ी संख्याएँ → बड़ा भिन्न
Same numerator: smaller denominator is larger; same denominator: larger numerator is largerअंश (Numerator) एक जैसा: छोटे हर (Denominator) वाला बड़ा; हर एक जैसा: बड़े अंश वाला बड़ा

Squares, cubes and roots

n5² = n(n + 1) followed by 25; near 50: n² = (25 + d) | d² where d = n − 50; near 100: n² = (n + d) | d² where d = n − 100 (d² takes the last two places; if d² has three digits, carry the extra digit)n5² = n(n + 1) और उसके बाद 25; 50 के पास: n² = (25 + d) | d², जहाँ d = n − 50; 100 के पास: n² = (n + d) | d², जहाँ d = n − 100 (d² आख़िरी दो स्थान लेता है; d² तीन अंकों का हो तो बढ़ा हुआ अंक हासिल की तरह आगे जुड़ता है)
99² = 9801, 999² = 998001, 99999² = 9999800001; 101² = 10201, 1001² = 1002001
Unit digit of a square ∈ {0, 1, 4, 5, 6, 9}; digit sum of a perfect square ∈ {1, 4, 7, 9}वर्ग (Square) का इकाई अंक (Unit digit) ∈ {0, 1, 4, 5, 6, 9}; पूर्ण वर्ग (Perfect square) का अंक (Digit) योग ∈ {1, 4, 7, 9}
Root unit digit: 1 → 1 or 9, 4 → 2 or 8, 5 → 5, 6 → 4 or 6, 9 → 3 or 7; cubes: 2 ↔ 8, 3 ↔ 7, others sameमूल (Root) का इकाई अंक (Unit digit): 1 → 1 या 9, 4 → 2 या 8, 5 → 5, 6 → 4 या 6, 9 → 3 या 7; घन (Cubes): 2 ↔ 8, 3 ↔ 7, बाकी वही
√(decimal): the root has half the decimal places (√0.0016 = 0.04)√(दशमलव): मूल (Root) में आधे दशमलव (Decimal) स्थान (√0.0016 = 0.04)

Identities on squares

a² − b² = (a + b)(a − b); (a ± b)² = a² ± 2ab + b²
(a + b)² − (a − b)² = 4ab; (a + b)² + (a − b)² = 2(a² + b²)
(a + b)² − 4ab = (a − b)²; 2(a² + b²) − (a + b)² = (a − b)²
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca); x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
n² − (n − 1)² = n + (n − 1)

Identities on cubes

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²); a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)
(a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³ = a³ ± b³ ± 3ab(a ± b)
a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca)
a + b + c = 0 ⇒ a³ + b³ + c³ = 3abc
(a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(c + a); x⁴ + x² + 1 = (x² + x + 1)(x² − x + 1)

Checking and approximation

Digit sum: DS(A ± B) = DS(DS(A) ± DS(B)); DS(A × B) = DS(DS(A) × DS(B)); for −N use 9 − DS(N)अंक योग (Digit sum): DS(A ± B) = DS(DS(A) ± DS(B)); DS(A × B) = DS(DS(A) × DS(B)); −N के लिए 9 − DS(N)
Unit digit of a sum / product depends only on the unit digitsजोड़ / गुणा का इकाई अंक (Unit digit) सिर्फ़ इकाई अंकों पर निर्भर करता है
a + aa + aaa + … = a × (1 + 11 + 111 + …)
If 1x = k, then 1x ÷ 10ⁿ = k × 10ⁿअगर 1x = k, तो 1x ÷ 10ⁿ = k × 10ⁿ

4. Indices and Surds Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

A root is a fractional power: ⁿ√a = a¹ⁿ. Every law of indices works on roots too.मूल (Root) एक भिन्नात्मक घात (Fractional power) है: ⁿ√a = a¹ⁿ। घातांक (Indices) के सारे नियम मूलों पर भी लगते हैं।
Same base: multiply → add powers, divide → subtract powers. Added terms → take the smallest power common.समान आधार (Base): गुणा → घातें (Powers) जोड़ें, भाग → घातें घटाएँ। पद (Terms) जुड़ रहे हों → सबसे छोटी घात common निकालें।
Convert everything to the smallest prime base before applying any law (4, 8, 16 → 2; 9, 27, 81 → 3; 25, 125, 625 → 5).कोई भी नियम लगाने से पहले सबको सबसे छोटे अभाज्य (Prime) आधार में बदलें (4, 8, 16 → 2; 9, 27, 81 → 3; 25, 125, 625 → 5)।
a⁻ⁿ is a reciprocal, not a negative number; a⁰ = 1.a⁻ⁿ एक व्युत्क्रम (Reciprocal) है, ऋणात्मक (Negative) संख्या नहीं; और a⁰ = 1।
a^x = a^y ⇒ x = y only after the bases are made the same.a^x = a^y ⇒ x = y, लेकिन सिर्फ़ आधार (Base) समान करने के बाद।
Square root of a perfect square: the unit digit gives two possible endings, and the n(n + 1) check picks one.पूर्ण वर्ग (Perfect square) का वर्गमूल (Square root): इकाई अंक (Unit digit) से दो संभावित आखिरी अंक मिलते हैं, और n(n + 1) वाली जाँच उनमें से एक चुन देती है।
Simplify every surd first (√72 = 6√2); only like surds can be added.पहले हर करणी (Surd) सरल करें (√72 = 6√2); सिर्फ़ सजातीय करणियाँ (Like surds) ही जुड़ती हैं।
(√a ± √b)² = a + b ± 2√ab: the rational part is the sum of the squares, and the surd part is twice the product.(√a ± √b)² = a + b ± 2√ab: परिमेय (Rational) भाग वर्गों (Squares) का जोड़ है, और करणी (Surd) वाला भाग गुणा का दोगुना।
Conjugates multiply to a rational number: (√a + √b)(√a − √b) = a − b. Rationalisation rests on this.संयुग्मियों (Conjugates) का गुणा परिमेय (Rational) आता है: (√a + √b)(√a − √b) = a − b। परिमेयकरण (Rationalisation) इसी पर टिका है।
(x + y)² − (x − y)² = 4xy and (x + y)² + (x − y)² = 2(x² + y²). Never expand such questions.(x + y)² − (x − y)² = 4xy और (x + y)² + (x − y)² = 2(x² + y²)। ऐसे प्रश्नों में कभी पूरा विस्तार (Expansion) न करें।
√a + 2√b: find two numbers with sum a and product b. Convert the surd part to 2√b first.√a + 2√b: ऐसी दो संख्याएँ ढूँढो जिनका जोड़ a और गुणा b हो। पहले करणी (Surd) वाले भाग को 2√b में बदलें।
Infinite √a + √a + … with a = n(n + 1) is n + 1; with minus signs it is n.अनंत (Infinite) √a + √a + … में a = n(n + 1) हो, तो उत्तर n + 1; ऋण चिह्नों के साथ उत्तर n।
Comparing surds of different orders: raise all to the LCM of the orders (√, ∛, ⁶√ → 6th power).अलग-अलग कोटि (Order) की करणियों (Surds) की तुलना: सबकी घात (Power) कोटियों के LCM जितनी करें (√, ∛, ⁶√ → छठी घात)।
Equal totals inside: closer numbers give the bigger sum (√7 + √5 > √10 + √2).अंदर का कुल बराबर हो, तो पास-पास वाली संख्याओं का योग बड़ा होता है (√7 + √5 > √10 + √2)।
A perfect square never ends in 2, 3, 7 or 8. Use the unit digit to cut options before any calculation.पूर्ण वर्ग (Perfect square) कभी 2, 3, 7 या 8 पर खत्म नहीं होता। कोई भी गणना करने से पहले इकाई अंक (Unit digit) से विकल्प काटें।
Rationalise with the conjugate: 1a + √b = a − √ba² − b. Multiply the top as well as the bottom.संयुग्मी (Conjugate) से परिमेयकरण करें: 1a + √b = a − √ba² − b। नीचे के साथ ऊपर भी गुणा करें।
Reciprocal pairs to know by heart: 13 + 2√2 = 3 − 2√2, 12 + √3 = 2 − √3, 1√2 + 1 = √2 − 1.ये व्युत्क्रम (Reciprocal) जोड़े याद रखें: 13 + 2√2 = 3 − 2√2, 12 + √3 = 2 − √3, 1√2 + 1 = √2 − 1।
a^x = b^y = c^z = k: write a = k^1x, b = k^1y, c = k^1z; if c = ab, then 1z = 1x + 1y.a^x = b^y = c^z = k: a = k^1x, b = k^1y, c = k^1z लिखें; अगर c = ab, तो 1z = 1x + 1y।
A logarithm is a power: log_a N = x means a^x = N. Every number inside a log must be positive, so check the roots of a log equation.Logarithm एक घात (Power) है: log_a N = x का मतलब a^x = N। log के अंदर की हर संख्या धनात्मक होनी चाहिए, इसलिए log समीकरण (Equation) के मूल जाँचें।
Exponential equation with 4^x and 2^x: put y = 2^x, solve the quadratic, reject y ≤ 0.4^x और 2^x वाले घातांकी समीकरण (Equation) में y = 2^x रखें, द्विघात हल करें, y ≤ 0 को छोड़ दें।
√(a + b + c) + 2√ab + 2√bc + 2√ca = √a + √b + √c.√(a + b + c) + 2√ab + 2√bc + 2√ca = √a + √b + √c।

Laws of indices

a^m × aⁿ = a^{m + n}; a^m ÷ aⁿ = a^{m − n}; (a^m)ⁿ = a^mn
(ab)ⁿ = aⁿbⁿ; (ab)ⁿ = aⁿbⁿ
a⁰ = 1 (a ≠ 0); a⁻ⁿ = 1aⁿ; (ab)⁻ⁿ = (ba)ⁿ
a^mⁿ = a^(mⁿ) ≠ (a^m)ⁿ
a^{x + p} + a^x = a^x(a^p + 1)
(−1)^even = 1, (−1)^odd = −1; 1ⁿ = 1

Roots as powers

ⁿ√a = a¹ⁿ; ⁿ√a^m = a^mn = (ⁿ√a)^m
ⁿ√ab = ⁿ√a × ⁿ√b; ⁿ√ab = ⁿ√aⁿ√b (a, b ≥ 0 for even n; b ≠ 0)ⁿ√ab = ⁿ√a × ⁿ√b; ⁿ√ab = ⁿ√aⁿ√b (सम n के लिए a, b ≥ 0; b ≠ 0)
^m√ⁿ√a = ^mn√a
√a + b ≠ √a + √b

Exponential equations

a^x = a^y ⇒ x = y (a > 0, a ≠ 1)
a^x = b^x, a ≠ b (a, b > 0) ⇒ x = 0
a^x = b^y = c^z and c = ab ⇒ 1z = 1x + 1ya^x = b^y = c^z और c = ab ⇒ 1z = 1x + 1y

Square roots of numbers

Square ends in 1 → root ends in 1/9; 4 → 2/8; 5 → 5; 6 → 4/6; 9 → 3/7; never ends in 2, 3, 7, 8वर्ग (Square) का आखिरी अंक (Digit) 1 → मूल (Root) 1/9; 4 → 2/8; 5 → 5; 6 → 4/6; 9 → 3/7; वर्ग कभी 2, 3, 7, 8 पर खत्म नहीं होता
Leftover < n(n + 1) → smaller ending; otherwise larger endingबचा हिस्सा < n(n + 1) → छोटा आखिरी अंक; वरना बड़ा आखिरी अंक
(10n + 5)² = n(n + 1) followed by 25(10n + 5)² = n(n + 1) के बाद 25
Decimal places in the root = half of those in the squareमूल (Root) में दशमलव (Decimal) के बाद के अंक = वर्ग (Square) में उनके आधे

Surd operations

√a²b = |a|√b (b ≥ 0; a√b when a ≥ 0); p√a ± q√a = (p ± q)√a
√a × √b = √ab; √a√b = √ab
(a ± √b)² = a² + b ± 2a√b; (√a ± √b)² = a + b ± 2√ab
(√a + √b)(√a − √b) = a − b; (a + √b)(a − √b) = a² − b
(x + y)² + (x − y)² = 2(x² + y²); (x + y)² − (x − y)² = 4xy
p + q√r = s + t√r ⇒ p = s, q = t (p, q, s, t rational and √r irrational; for r = 4 it fails)p + q√r = s + t√r ⇒ p = s, q = t (p, q, s, t परिमेय (Rational) और √r अपरिमेय (Irrational) हो; r = 4 के लिए यह गलत हो जाता है)

Rationalisation

1√a ± √b = √a ∓ √ba − b; 1a ± √b = a ∓ √ba² − b
√a + √b√a − √b = a + b + 2√aba − b
√a + √b√a − √b + √a − √b√a + √b = 2(a + b)a − b
Reciprocal pairs (product 1): 3 ± 2√2, 2 ± √3, √2 ± 1, 5 ± 2√6, √3 ± √2व्युत्क्रम जोड़े (Reciprocal pairs), जिनका गुणा 1 है: 3 ± 2√2, 2 ± √3, √2 ± 1, 5 ± 2√6, √3 ± √2

Square root of a surd and nested roots

√a ± 2√b = √x ± √y, x + y = a, xy = b, x > y
√n(n + 1) + √n(n + 1) + …∞ = n + 1; √n(n + 1) − √n(n + 1) − …∞ = n
√a + √a + …∞ = 1 + √1 + 4a2
√a√a√a…∞ = a; n roots → a^{1 − 12ⁿ}√a√a√a…∞ = a; n मूल हों तो → a^{1 − 12ⁿ}

Comparison and standard values

Different orders: raise all to the LCM of the ordersअलग-अलग कोटि (Order): सबकी घात (Power) कोटियों के LCM जितनी करें
Equal totals: closer numbers give the bigger sum of roots; equal gaps: smaller numbers give the bigger differenceकुल बराबर: पास-पास वाली संख्याओं के मूलों (Roots) का योग बड़ा; अंतर बराबर: छोटी संख्याओं वाला घटाव बड़ा
√2 = 1.414, √3 = 1.732, √5 = 2.236, √6 = 2.449, √7 = 2.646, √10 = 3.162

Logarithms

log_a N = x ⇔ a^x = N; log_a 1 = 0; log_a a = 1
log mn = log m + log n; log mn = log m − log n; log m^p = p log m
log_b a = log alog b = 1log_a b; log_a b × log_b c = log_a c
Digits in N = integer part of log₁₀ N, plus 1N में अंक = log₁₀ N का पूर्णांक (Integer) भाग + 1

5. Progression (AP & GP) Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

Fixed amount added → AP (find d); fixed number multiplied → GP (find r).निश्चित रकम जुड़ती है → समांतर (Parallel) श्रेणी (समांतर श्रेणी (AP)) (d निकालें); निश्चित संख्या से गुणा होता है → गुणोत्तर श्रेणी (GP) (r निकालें)।
nth term needs (n − 1) jumps: AP a + (n − 1)d, GP ar^{n − 1}.nth पद (Term) में (n − 1) छलाँगें: AP में a + (n − 1)d, GP में ar^{n − 1}।
Number of terms = last − firstd + 1; never forget the +1.पदों (Terms) की संख्या = आखिरी − पहलाd + 1; +1 कभी मत भूलना।
Three terms in AP: middle = average of the ends (2b = a + c).AP के तीन पद (Terms): बीच वाला = सिरों का औसत (Average) (2b = a + c)।
Radii or diameters in AP ⇒ circumferences in AP (× 2π keeps an AP); areas are NOT in AP.त्रिज्याएँ (Radii) या व्यास (Diameters) AP में ⇒ परिधियाँ (Circumferences) भी AP में (× 2π से AP बनी रहती है); क्षेत्रफल (Areas) AP में नहीं होते।
Average of any AP = first + last2; the number of terms does not matter.किसी भी AP का औसत (Average) = पहला + आखिरी2; पदों (Terms) की संख्या से फ़र्क नहीं पड़ता।
Sum of an AP = number of terms × average of first and last.AP का योग = पदों (Terms) की संख्या × (पहले और आखिरी का औसत (Average))।
Pull out the common factor: k + 2k + … + mk = k × m(m + 1)2.साझा गुणनखंड (Common factor) बाहर निकालें: k + 2k + … + mk = k × m(m + 1)2।
Sum given, a term asked: T_n = S_n − S_{n − 1}; sum and first term given: last = 2Sn − first.योग दिया, पद (Term) पूछा: T_n = S_n − S_{n − 1}; योग और पहला पद दिया: आखिरी = 2Sn − पहला।
1 + 2 + … + n + … + 2 + 1 = n²; sum of the first n odd numbers = n².1 + 2 + … + n + … + 2 + 1 = n²; पहली n विषम संख्याओं (Odd numbers) का योग = n²।
Word problems: one period → T_n; total of all periods → S_n. When n is asked, try the options.शाब्दिक प्रश्न (Word problems): एक अवधि → T_n; सभी अवधियों का कुल → S_n। n पूछा हो तो विकल्प आज़माएँ।
Speed rising by a fixed amount every hour: total distance = S_n; for the time, test the options.हर घंटे चाल (Speed) निश्चित मात्रा से बढ़े: कुल दूरी = S_n; समय पूछा हो तो विकल्पों से जाँचें।
GP sum with unknown n: divide by ar − 1, add 1, recognise the power of r.GP के योग में n पता न हो: ar − 1 से भाग दो, 1 जोड़ें, r की घात (Power) पहचानें।
Infinite GP sum a1 − r exists only when |r| < 1.अनंत GP (Infinite GP) का योग a1 − r सिर्फ़ तब होता है जब |r| < 1।
GP: b² = ac; for positive a, b: AM ≥ GM ≥ HM and GM² = AM × HM.GP: b² = ac; धनात्मक (Positive) a, b के लिए AM ≥ GM ≥ HM और GM² = AM × HM।
Squares: n(n + 1)(2n + 1)6 (cancel 6 first); cubes: [n(n + 1)2]²; from m to n subtract up to (m − 1).वर्ग (Squares): n(n + 1)(2n + 1)6 (पहले 6 काट दें); घन (Cubes): [n(n + 1)2]²; m से n तक के लिए (m − 1) तक घटाएँ।
Cancelling fractions: 1d(1first − 1last).कटने वाली भिन्नें (Fractions): 1d(1पहला − 1आखिरी)।
If S_m = S_n, the sum of the first (m + n) terms is zero.अगर S_m = S_n हो, तो पहले (m + n) पदों का योग शून्य होता है।
A fall of p% every period means r = 1 − p/100, and the value after n periods is the (n + 1)th term.हर अवधि में p% की गिरावट का मतलब r = 1 − p/100, और n अवधि बाद का मान (n + 1)वाँ पद होता है।
In a harmonic progression, turn the terms upside down, solve the AP, and turn the answer upside down again.हरात्मक श्रेढ़ी (HP) में पदों को उलटो, समांतर (Parallel) श्रेणी (समांतर श्रेणी (AP)) हल करें, और उत्तर को फिर उलट दो।

Basic sums

1 + 2 + … + n = n(n + 1)2
1 + 3 + 5 + … (n terms) = n²1 + 3 + 5 + … (n पद) = n²
2 + 4 + 6 + … (n terms) = n(n + 1)2 + 4 + 6 + … (n पद) = n(n + 1)
1 + 2 + … + n + … + 2 + 1 = n²

Arithmetic Progression (AP)

T_n = a + (n − 1)d; d = T₂ − T₁
Number of terms n = l − ad + 1पदों (Terms) की संख्या n = l − ad + 1
nth term from the end = l − (n − 1)d; T_m − T_n = (m − n)dआखिर से nth पद (Term) = l − (n − 1)d; T_m − T_n = (m − n)d
S_n = n2[2a + (n − 1)d] = n2(a + l)
T_n = S_n − S_{n − 1}; if S_n = An² + Bn, then d = 2AT_n = S_n − S_{n − 1}; अगर S_n = An² + Bn, तो d = 2A
Adding, subtracting, multiplying or dividing every term by the same (non-zero) number keeps an AP an APहर पद (Term) में एक ही संख्या जोड़ने या घटाने पर, या हर पद को एक ही शून्येतर (Non-zero) संख्या से गुणा या भाग करने पर समांतर (Parallel) श्रेणी (समांतर श्रेणी (AP)), AP ही रहती है

Means and selection of terms

a, b, c in AP ⇔ 2b = a + c; AM = a + b2a, b, c AP में ⇔ 2b = a + c; AM = a + b2
Average of an AP = first + last2 (= middle term when the number of terms is odd)AP का औसत (Average) = पहला + आखिरी2 (पदों (Terms) की संख्या विषम हो तो यही मध्य पद)
n AMs between a and b: d = b − an + 1a और b के बीच n समांतर (Parallel) माध्य (AMs): d = b − an + 1
AP selection: a − d, a, a + d | a − 3d, a − d, a + d, a + 3d | a − 2d, a − d, a, a + d, a + 2dAP चुनाव: a − d, a, a + d | a − 3d, a − d, a + d, a + 3d | a − 2d, a − d, a, a + d, a + 2d
a, b, c (non-zero) in GP ⇔ b² = ac; GM = √ab; GP selection: ar, a, ara, b, c (शून्येतर) GP में ⇔ b² = ac; GM = √ab; GP चुनाव: ar, a, ar
HM = 2aba + b; AM ≥ GM ≥ HM (a, b > 0); GM² = AM × HM

Geometric Progression (GP)

T_n = ar^{n − 1}; r = T₂T₁
S_n = a(rⁿ − 1)r − 1 = a(1 − rⁿ)1 − r for r ≠ 1 (first form handy when r > 1, second when r < 1); S_n = na when r = 1S_n = a(rⁿ − 1)r − 1 = a(1 − rⁿ)1 − r, r ≠ 1 के लिए (r > 1 हो तो पहला रूप आसान, r < 1 हो तो दूसरा); r = 1 हो तो S_n = na
S_∞ = a1 − r for |r| < 1 (e.g. 0.4 = 49)S_∞ = a1 − r, |r| < 1 के लिए (जैसे 0.4 = 49)

Special series

1² + 2² + … + n² = n(n + 1)(2n + 1)6
1³ + 2³ + … + n³ = [n(n + 1)2]²
1k(k + d) = 1d(1k − 1k + d); 11 × 2 + … + 1n(n + 1) = nn + 1
Values to remember: 1² + … + 10² = 385; 1³ + … + 10³ = 3025; 1 + … + 100 = 5050याद रखने वाले मान: 1² + … + 10² = 385; 1³ + … + 10³ = 3025; 1 + … + 100 = 5050

More results: sums, GM insertion, HP and real-life GP

S_m = S_n (m ≠ n) ⇒ S_m+n = 0
Sums in ratio f(n) : g(n) ⇒ nth terms in ratio f(2n − 1) : g(2n − 1)योग अनुपात (Ratio) f(n) : g(n) में ⇒ nवें पद अनुपात f(2n − 1) : g(2n − 1) में
n GMs between a and b: r = (ba)^{1n + 1}, product of the means = (ab)ⁿ²a और b के बीच n GM: r = (ba)^{1n + 1}, माध्यों का गुणनफल (Product) = (ab)ⁿ²
HP: reciprocals in AP; T_n = 1a + (n − 1)dHP: व्युत्क्रम AP में; T_n = 1a + (n − 1)d
Bouncing ball from H with factor r: total distance = H × 1 + r1 − rH से उछलती गेंद, गुणक (Multiplying factor) r: कुल दूरी = H × 1 + r1 − r
Value after n periods = P × rⁿ (r = 1 ± p100); doubling from 1: total = 2ⁿ − 1n अवधि बाद का मान = P × rⁿ (r = 1 ± p100); 1 से दोगुना: कुल = 2ⁿ − 1
9 + 99 + 999 + … (n terms) = 10(10ⁿ − 1)9 − n; digits of 1 to 99 add up to 9009 + 99 + 999 + … (n पद) = 10(10ⁿ − 1)9 − n; 1 से 99 तक के अंकों का योग 900

6. Number Series Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

Look at size first: slow rise means adding, doubling means multiplying, a gently speeding rise means squares or cubes.पहले आकार देखें: धीमी बढ़त यानी जोड़, दोगुनी बढ़त यानी गुणा, धीरे-धीरे तेज़ होती बढ़त यानी वर्ग या घन।
Equal differences or equal ratios mean an AP or a GP; use the Progression formulas for far terms.बराबर अंतर या बराबर अनुपात (Ratio) का मतलब समांतर श्रेणी (AP) या गुणोत्तर श्रेणी (GP) है; दूर के पद के लिए Progression के सूत्र (Formulae) लगाएँ।
Unequal differences: find the second differences before you try anything else.अंतर बराबर न हों, तो कुछ और आज़माने से पहले दूसरे अंतर निकालें।
Odd differences 1, 3, 5, 7 mean squares; check n² ± k.विषम अंतर 1, 3, 5, 7 का मतलब वर्ग है; n² ± k जाँचें।
Know squares to 30, cubes to 15, primes to 100 and n(n + 1) to 12 × 13 by heart.30 तक वर्ग, 15 तक घन, 100 तक अभाज्य संख्याएँ (Prime number) और 12 × 13 तक n(n + 1) ज़ुबानी याद रखें।
Ratios close to 2 or 3 with a small leftover mean ×k ± c; find c from one pair and test it on the others.2 या 3 के पास के अनुपात (Ratio) और छोटा बचा हुआ भाग का मतलब ×k ± c है; c एक जोड़ी से निकालें और बाकी पर जाँचें।
A zigzag series is two series woven together: split by odd and even places.ऊपर-नीचे कूदती श्रेणी (Series) दो श्रेणियों का मेल है: विषम और सम स्थानों में बाँटें।
Fractions: numerators and denominators are two series; never reduce a printed fraction.भिन्न (Fraction): अंश और हर दो श्रेणियाँ (Series) हैं; छपी हुई भिन्न को कभी सरल न करें।
Decimals: shift the point, solve the whole numbers, then put the point back.दशमलव (Decimal): बिंदु (Point) हटाएँ, पूर्ण संख्याएँ (Whole number) हल करें, फिर बिंदु वापस लगाएँ।
A question mark in the middle must fit both its neighbours; check the term after it too.बीच का प्रश्नचिह्न अपने दोनों पड़ोसियों से मेल खाना चाहिए; उसके बाद वाला पद भी जाँचें।
Wrong number: a middle term spoils two differences, an end term spoils one.गलत संख्या: बीच का पद दो अंतर बिगाड़ता है, सिरे का पद एक।
In a ×k + c series, test the corrected value on the next printed term before marking.×k + c श्रेणी (Series) में निशान लगाने से पहले सुधारे हुए मान को अगले छपे पद पर जाँचें।
The answer to a wrong-number question is the printed term, not the value it should have.गलत संख्या वाले प्रश्न का उत्तर छपा हुआ पद है, न कि वह मान जो वहाँ होना चाहिए।

Order of checks

1. Size and speed → 2. Differences → 3. Ratios → 4. Squares, cubes, products, primes → 5. Alternate terms → mixed operations1. आकार और रफ़्तार → 2. अंतर → 3. अनुपात (Ratio) → 4. वर्ग, घन, गुणनफल (Product), अभाज्य (Prime) → 5. एकांतर पद → मिली-जुली संक्रियाएँ
Equal differences = AP; equal ratios = GP (formulas in the Progression chapter)बराबर अंतर = AP; बराबर अनुपात (Ratio) = GP (सूत्र (Formulae) Progression अध्याय में)

Difference patterns

Differences 1, 2, 3, 4, … or 2, 4, 6, 8, … (rising by a fixed amount)अंतर 1, 2, 3, 4, … या 2, 4, 6, 8, … (स्थिर मात्रा से बढ़ते)
Odd differences 1, 3, 5, 7, … → a square is hiding in the termsविषम अंतर 1, 3, 5, 7, … → पदों में वर्ग छिपा है
Differences doubling 1, 2, 4, 8, … or triplingअंतर दोगुने 1, 2, 4, 8, … या तिगुने
Differences that are squares, cubes or primesअंतर जो वर्ग, घन या अभाज्य संख्याएँ (Prime number) हैं
Second differences constant → the first differences form an APदूसरे अंतर स्थिर → पहले अंतर समांतर श्रेणी (AP) बनाते हैं

Tables to know by heart

Squares: 11² = 121, 12² = 144, 13² = 169, 14² = 196, 15² = 225, 16² = 256, 17² = 289, 18² = 324, 19² = 361, 20² = 400, 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784, 29² = 841, 30² = 900वर्ग: 11² = 121, 12² = 144, 13² = 169, 14² = 196, 15² = 225, 16² = 256, 17² = 289, 18² = 324, 19² = 361, 20² = 400, 21² = 441, 22² = 484, 23² = 529, 24² = 576, 25² = 625, 26² = 676, 27² = 729, 28² = 784, 29² = 841, 30² = 900
Cubes: 1³ = 1, 2³ = 8, 3³ = 27, 4³ = 64, 5³ = 125, 6³ = 216, 7³ = 343, 8³ = 512, 9³ = 729, 10³ = 1000, 11³ = 1331, 12³ = 1728, 13³ = 2197, 14³ = 2744, 15³ = 3375घन: 1³ = 1, 2³ = 8, 3³ = 27, 4³ = 64, 5³ = 125, 6³ = 216, 7³ = 343, 8³ = 512, 9³ = 729, 10³ = 1000, 11³ = 1331, 12³ = 1728, 13³ = 2197, 14³ = 2744, 15³ = 3375
n(n + 1): 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156
Primes up to 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97100 तक अभाज्य संख्याएँ (Prime number): 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97
Factorials: 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5040क्रमगुणित (Factorials): 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5040
Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233
n³ − n = (n − 1)n(n + 1): 0, 6, 24, 60, 120, 210

Multiplying and mixed operations

×k ± c: k from the ratio of neighbours, c = next − k × term×k ± c: k पड़ोसियों के अनुपात (Ratio) से, c = अगला पद − k × पद
Growing steps: ×1 + 1, ×2 + 2, ×3 + 3, … or ×2 + 1, ×3 + 1, ×4 + 1, …बढ़ते चरण: ×1 + 1, ×2 + 2, ×3 + 3, … या ×2 + 1, ×3 + 1, ×4 + 1, …
Multipliers 1, 2, 3, … (factorial type) or 1.5, 2, 2.5, …गुणक (Multiplying factor) 1, 2, 3, … (factorial प्रकार) या 1.5, 2, 2.5, …
Two operations in turn: (×2, −3), (+1, ×3), (÷2, +2) …बारी-बारी की दो संक्रियाएँ: (×2, −3), (+1, ×3), (÷2, +2) …

Alternating, fraction and decimal series

Zigzag series → split into odd places and even placesऊपर-नीचे कूदती श्रेणी (Series) → विषम और सम स्थानों में बाँटें
Fibonacci-type: each term = sum of the two before itFibonacci प्रकार: हर पद = पिछले दो पदों का योग
Fraction series: numerators and denominators as two separate series; do not reduceभिन्न (Fraction) श्रेणी (Series): अंश और हर दो अलग श्रेणियाँ; सरलतम रूप में न बदलें
Decimal series: multiply by 10ⁿ, solve, divide backदशमलव (Decimal) श्रेणी (Series): 10ⁿ से गुणा करें, हल करें, वापस भाग दो

Wrong number

Rule from the majority of terms; rebuild; the printed term that differs is wrongनियम बहुमत वाले पदों से; श्रेणी (Series) दोबारा बनाएँ; जो छपा पद अलग है, वही गलत
Middle term wrong → two neighbouring differences spoilt (+k and −k)बीच का पद गलत → दो पड़ोसी अंतर बिगड़ते हैं (+k और −k)
End term wrong → only one difference spoiltसिरे का पद गलत → सिर्फ़ एक अंतर बिगड़ता है
×k + c series: the corrected value must produce the next printed term×k + c श्रेणी (Series): सुधारा हुआ मान अगला छपा पद देना चाहिए

7. Percentage Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

Before solving, ask "who is 100 here?" The quantity after of or than is the base.हल करने से पहले पूछें, "यहाँ 100 कौन है?" "का" या "से" वाली मात्रा ही आधार (Base) है।
Read percentages as fractions: 12.5% = 18, 16.67% ≈ 16, 14.29% ≈ 17, 9.09% ≈ 111.प्रतिशतों (Percentages) को भिन्न (Fraction) में पढ़ें: 12.5% = 18, 16.67% ≈ 16, 14.29% ≈ 17, 9.09% ≈ 111।
Same number, two percentages: work with "percent ↔ value" pairs. The number itself is rarely needed.एक ही संख्या के दो प्रतिशत (Percentages) हों, तो "प्रतिशत ↔ मान" की जोड़ी से काम करें। संख्या निकालने की ज़रूरत कम ही पड़ती है।
Of the remaining changes the base. Multiply the remaining fractions (0.8 × 0.6); never add the percentages."शेष में से" आधार (Base) बदल देता है। बची हुई भिन्नों (Fractions) का गुणा करें (0.8 × 0.6), प्रतिशत कभी न जोड़ें।
x% of A = y% of B ⇒ A : B = y : x (cross the percentages).A का x% = B का y% ⇒ A : B = y : x (प्रतिशत आपस में जगह बदल लेते हैं)।
Percentage change is on the old value; percentage error is on the correct value.प्रतिशत (Percentage) बदलाव पुराने मान (Value) पर निकलता है, और प्रतिशत त्रुटि (Error) सही मान पर।
In error and "what percent" questions, bring both values to the same unit first (h and min, kg and g, m and cm, m³ and cm³).त्रुटि (Error) और "कितना प्रतिशत" वाले प्रश्नों में पहले दोनों मानों को एक ही इकाई (Unit) में लाओ (घंटा–मिनट, kg–g, m–cm, m³–cm³)।
25% more ⇒ 20% less the other way; 20% less ⇒ 25% more; 50% less ⇒ 100% more.25% अधिक ⇒ उल्टा 20% कम; 20% कम ⇒ 25% अधिक; 50% कम ⇒ 100% अधिक।
"n times more than B" is taken as (n + 1)B in SSC options; "n times B" is just nB.SSC के विकल्पों में "B से n गुना अधिक" को (n + 1)B लिया जाता है; "B का n गुना" सिर्फ़ nB है।
Two successive changes: a + b + ab100. Equal rise and fall of x% always gives a fall of x²100%.दो क्रमागत (Successive) बदलाव: a + b + ab100। x% की बराबर वृद्धि और कमी से हमेशा x²100% की कमी होती है।
To get back the original value, divide by the multiplying factor. Never subtract the same percentage.मूल मान (Value) वापस पाने के लिए गुणक (Multiplying factor) से भाग दो। वही प्रतिशत कभी न घटाएँ।
Price up by 1n ⇒ consumption down by 1n + 1 to keep the expenditure the same.कीमत 1n बढ़े ⇒ खर्च वही रखने के लिए खपत 1n + 1 घटाएँ।
Price-drop "buy more" questions: money saved (r% of the total) ÷ extra quantity = new price.कीमत घटने पर "ज़्यादा खरीद" वाले प्रश्न: बची रकम (कुल का r%) ÷ अतिरिक्त मात्रा = नई कीमत।
Population and depreciation: multiply the yearly factors; to go back in time, divide by them (8% a year ⇒ 25 : 27 each year).जनसंख्या (Population) और मूल्यह्रास (Depreciation): सालाना गुणकों (Multiplying factor) का गुणा करें; पीछे जाना हो तो उनसे भाग दो (8% सालाना ⇒ हर साल 25 : 27)।
Income and saving: take income = 100 and subtract amounts, not percentages.आय (Income) और बचत (Saving): आय = 100 लो और रकमें घटाएँ, प्रतिशत नहीं।
Two exam situations: fail and pass on opposite sides ⇒ add the marks; on the same side ⇒ subtract.परीक्षा की दो स्थितियाँ: फ़ेल और पास अलग-अलग तरफ़ ⇒ अंक जोड़ें; एक ही तरफ़ ⇒ घटाएँ।
Elections: candidates' shares are usually of valid votes; two-candidate margin = (2w − 100)% of valid votes.चुनाव (Election): उम्मीदवारों के हिस्से आमतौर पर वैध वोटों के होते हैं; दो उम्मीदवारों का अंतर = वैध वोटों का (2w − 100)%।
Overall percentage of unequal groups is a weighted average, not a simple average.असमान समूहों का कुल प्रतिशत (Percentage) भारित औसत (Weighted average) होता है, सीधा औसत नहीं।
In a cylinder the radius is squared, so 10% on the radius and 10% on the height give 8.9% on the volume, not 0%.बेलन (Cylinder) में त्रिज्या (Radii) का वर्ग लगता है, इसलिए त्रिज्या पर 10% और ऊँचाई पर 10% का मतलब आयतन (Volume) पर 8.9% है, 0% नहीं।
GST inside a bill of price + g% is g out of (100 + g) parts of the bill, not g% of the bill.(कीमत + g%) वाले बिल में GST, बिल के (100 + g) भागों में से g भाग होता है, बिल का g% नहीं।
In slab tax, each rate works only on the part of the income inside its own slab.स्लैब वाले कर में हर दर आय के सिर्फ़ उसी हिस्से पर लगती है जो उसके अपने स्लैब में पड़ता है।

Basics

x% = x100; Part = x100 × Wholex% = x100; भाग = x100 × पूरी मात्रा
Percentage = PartWhole × 100 (the quantity after of is the whole)प्रतिशत (Percentage) = भागपूरी मात्रा × 100 ("का" वाली मात्रा ही पूरी मात्रा है)
If x% of N = A, then N = 100Ax and y% of N = yx × Aअगर N का x% = A, तो N = 100Ax और N का y% = yx × A
a% of b = b% of a; x% of y% of N = xy10000 × Nb का a% = a का b%; N के y% का x% = xy10000 × N
x% of x = x²100x का x% = x²100

Standard fraction values

12 = 50%, 13 = 3313%, 14 = 25%, 15 = 20%, 16 = 1623%
17 = 1427%, 18 = 1212%, 19 = 1119%, 111 = 9111%, 112 = 813%
113 = 7913%, 114 = 717%, 115 = 623%, 116 = 614%, 124 = 416%, 140 = 212%
38 = 3712%, 58 = 6212%, 56 = 8313%, 98 = 11212%, 54 = 125%

Ratio and comparison

x% of A = y% of B ⇒ A : B = y : xA का x% = B का y% ⇒ A : B = y : x
x% of A = y% of B = z% of C ⇒ A : B : C = 1x : 1y : 1zA का x% = B का y% = C का z% ⇒ A : B : C = 1x : 1y : 1z
A is r% more than B ⇒ B is r100 + r × 100% less than AA, B से r% अधिक ⇒ B, A से r100 + r × 100% कम
A is r% less than B ⇒ B is r100 − r × 100% more than AA, B से r% कम ⇒ B, A से r100 − r × 100% अधिक
"n times more than B" is taken in SSC questions as (n + 1)B"B से n गुना अधिक" को SSC के प्रश्नों में (n + 1)B लिया जाता है

Change, error and successive change

% change = New − OldOld × 100; % error = |Wrong − Correct|Correct × 100% बदलाव = नया − पुरानापुराना × 100; % त्रुटि = |गलत − सही|सही × 100
New = Old × 100 ± r100; Old = New × 100100 ± rनया = पुराना × 100 ± r100; पुराना = नया × 100100 ± r
Two successive changes a%, b%: net = a + b + ab100 % (− for decrease)दो क्रमागत बदलाव a%, b%: कुल = a + b + ab100 % (कमी के लिए −)
+x% then −x% ⇒ net decrease x²100%+x% फिर −x% ⇒ कुल कमी x²100%
Back to original: after +r% ⇒ −r100 + r × 100%; after −r% ⇒ +r100 − r × 100%वापस मूल मान पर: +r% के बाद ⇒ −r100 + r × 100%; −r% के बाद ⇒ +r100 − r × 100%
Side/radius +r% ⇒ area +(2r + r²100)%; product constant ⇒ other factor changes by r100 ± r × 100%भुजा (Side)/त्रिज्या (Radius) +r% ⇒ क्षेत्रफल (Area) +(2r + r²100)%; गुणनफल (Product) स्थिर ⇒ दूसरा गुणक (Multiplying factor) r100 ± r × 100% बदलता है

Household questions

Expenditure = Price × Consumptionखर्च (Expenditure) = मूल्य (Price) × खपत (Consumption)
Price ↑ r% ⇒ consumption ↓ r100 + r × 100%; Price ↓ r% ⇒ consumption ↑ r100 − r × 100% (same expenditure)मूल्य (Price) ↑ r% ⇒ खपत ↓ r100 + r × 100%; मूल्य ↓ r% ⇒ खपत ↑ r100 − r × 100% (खर्च वही)
Price ↓ r%, x units more for ₹M: New price = rM100x, Original price = rM(100 − r)xमूल्य (Price) ↓ r%, ₹M में x इकाई ज़्यादा: नई कीमत = rM100x, पुरानी कीमत = rM(100 − r)x
Income = Expenditure + Saving; I × i% = E × e% + S × s%आय (Income) = खर्च (Expenditure) + बचत (Saving); I × i% = E × e% + S × s%

Population, exams, elections, mixtures

Population after n years = P(1 + r100)ⁿ; depreciation: V(1 − r100)ⁿ; n years ago = P(1 + r100)ⁿn साल बाद जनसंख्या (Population) = P(1 + r100)ⁿ; मूल्यह्रास (Depreciation): V(1 − r100)ⁿ; n साल पहले = P(1 + r100)ⁿ
Net growth rate = birth rate − death rateशुद्ध वृद्धि दर = जन्म दर − मृत्यु दर
Max marks = sum (fail–pass) or difference (same side) of marksdifference of percentages × 100अधिकतम अंक = अंकों का योग (फ़ेल–पास) या अंतर (एक ही तरफ़)प्रतिशतों का अंतर × 100
At least one = A + B − Both; passed in both = 100 − (failed in at least one)कम से कम एक = A + B − दोनों; दोनों में पास = 100 − (कम से कम एक में फ़ेल)
Valid votes = Total × polled% × valid%; two-candidate margin = (2w − 100)% of validवैध वोट = कुल × डाले गए% × वैध%; दो उम्मीदवारों का अंतर = वैध वोटों का (2w − 100)%
Overall % = n₁p₁ + n₂p₂n₁ + n₂; alligation n₁ : n₂ = (p₂ − p) : (p − p₁)कुल % = n₁p₁ + n₂p₂n₁ + n₂; मिश्रण (Mixture) नियम (Alligation) n₁ : n₂ = (p₂ − p) : (p − p₁)

Solids, tax and GST

Volume change: multiply the factors with their powers (cuboid (1 ± a)(1 ± b)(1 ± c); cylinder (1 ± r)²(1 ± h); sphere (1 ± r)³); answer = (factor − 1) × 100आयतन (Volume) में बदलाव: गुणकों (Multiplying factor) को उनकी घातों (Power) के साथ गुणा करें (घनाभ (1 ± a)(1 ± b)(1 ± c); बेलन (1 ± r)²(1 ± h); गोला (1 ± r)³); उत्तर = (गुणक − 1) × 100
Same water in a new vessel: base area × level = constantवही पानी नए बर्तन में: आधार का क्षेत्रफल (Area) × स्तर = स्थिर
Bill = Price × 100 + g100; Price = Bill × 100100 + g; GST in a bill = Bill × g100 + gबिल = कीमत × 100 + g100; कीमत = बिल × 100100 + g; बिल में GST = बिल × g100 + g
Slab tax = Σ (rate × portion in that slab); effective rate = taxincome × 100स्लैब कर = Σ (दर × उस स्लैब का हिस्सा); प्रभावी दर = करआय × 100

8. Profit and Loss Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

Profit% and loss% are on CP unless the question says "on SP". Divide by CP.लाभ (Profit)% और हानि (Loss)% क्रय मूल्य (CP) पर होते हैं, जब तक प्रश्न "विक्रय मूल्य (SP) पर" न कहे। भाग CP से दो।
Every expense before the sale (repair, transport, storage) is part of CP.बेचने से पहले का हर खर्च (मरम्मत, ढुलाई, भंडारण) क्रय मूल्य (CP) का हिस्सा है।
Going from SP back to CP, divide by the factor (1.2, 0.75 …); never subtract the same % of SP.विक्रय मूल्य (SP) से क्रय मूल्य (CP) पर लौटते समय गुणक (1.2, 0.75 …) से भाग दो; SP का वही % कभी न घटाएँ।
Read profit% as CP : SP: 20% → 5 : 6, 25% → 4 : 5, 25% loss → 4 : 3, 1212% → 8 : 9.लाभ (Profit)% को CP : SP में पढ़ें: 20% → 5 : 6, 25% → 4 : 5, 25% हानि (Loss) → 4 : 3, 1212% → 8 : 9।
x% of CP = y% of SP ⇒ CP : SP = y : x. The numbers cross over.CP का x% = SP का y% ⇒ CP : SP = y : x। दोनों संख्याएँ आपस में जगह बदल लेती हैं।
Profit p% on SP ⇒ p100 − p × 100% on CP; loss l% on SP ⇒ l100 + l × 100% on CP.SP पर p% लाभ (Profit) ⇒ CP पर p100 − p × 100%; SP पर l% हानि (Loss) ⇒ CP पर l100 + l × 100%।
Two SPs of the same article: rupee difference ↔ difference of % (add if one is profit and the other loss).एक वस्तु के दो SP: रुपयों का अंतर ↔ % का अंतर (एक लाभ (Profit) और एक हानि (Loss) हो तो % जोड़ें)।
Profit at SP₁ = loss at SP₂ ⇒ CP is the average; profit = n × loss ⇒ split the gap n : 1.SP₁ पर लाभ (Profit) = SP₂ पर हानि (Loss) ⇒ CP दोनों का औसत (Average) है; लाभ = n × हानि ⇒ दोनों SP के बीच की दूरी को n : 1 में बाँटें।
Chains of selling multiply the factors; CP and SP changed by the same % keep the profit% unchanged.बिक्री की chain में गुणकों (Multiplying factor) को गुणा करते हैं; क्रय मूल्य (CP) और विक्रय मूल्य (SP) एक ही % से बदलें तो लाभ (Profit)% नहीं बदलता।
CP of x = SP of y ⇒ profit% = x − yy × 100; divide by the SP count.x का CP = y का SP ⇒ लाभ (Profit)% = x − yy × 100; भाग SP वाली गिनती से दो।
Different counts in buying and selling rates ⇒ make the counts equal with the LCM.खरीदने और बेचने की दरों में गिनती अलग हो ⇒ लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से गिनती बराबर करें।
Overall % is an average weighted by cost, never a plain average of the percentages.कुल %, लागत के हिसाब से लिया गया भारित औसत (Weighted average) है, प्रतिशतों का सीधा औसत कभी नहीं।
Same SP with x% profit and x% loss is always a loss of x²100%.एक ही SP पर x% लाभ (Profit) और x% हानि (Loss) हो, तो हमेशा x²100% की हानि होती है।
False weight: profit% = True − FalseFalse; with a claimed % multiply the two factors.गलत वज़न: लाभ (Profit)% = सही − गलतगलत; साथ में दावे वाला % भी हो तो दोनों गुणकों (Factors) को गुणा करें।
Before marking, read the last line again. The CP and the SP of the same question are usually both among the options.उत्तर लगाने से पहले आख़िरी पंक्ति दोबारा पढ़ें। एक ही प्रश्न का क्रय मूल्य (CP) और विक्रय मूल्य (SP), दोनों अक्सर विकल्पों में मौजूद होते हैं।
Wastage: the full cost stays; divide the target SP by the good pieces only.बर्बादी: पूरी लागत वही रहती है; target SP को सिर्फ़ अच्छी वस्तुओं की संख्या से भाग दो।
Profit = CP of n articles ⇒ nN; profit = SP of n articles ⇒ nN − n (N = articles sold).लाभ (Profit) = n वस्तुओं का CP ⇒ nN; लाभ = n वस्तुओं का SP ⇒ nN − n (N = बेची गई वस्तुएँ)।
When an agent keeps a commission, the owner's SP is only what reaches him; count the profit on that.जब एजेंट कमीशन रखता है, तो मालिक का विक्रय मूल्य (SP) सिर्फ़ वह है जो उस तक पहुँचता है; लाभ (Profit) उसी पर गिनें।
GST in a bill is not the seller's money. Remove it first, then find the profit.बिल का GST विक्रेता का पैसा नहीं है। पहले उसे हटाएँ, फिर लाभ (Profit) निकालें।
If a part of the stock is stolen, multiply (1 − lost fraction) by the profit factor; never subtract.स्टॉक का कुछ भाग चोरी हो जाए, तो (1 − खोई भिन्न (Fraction)) को लाभ (Profit) के गुणक (Multiplying factor) से गुणा करें; घटाएँ मत।
Cheating while buying goes on top of the fraction, cheating while selling goes below it.खरीदते समय की बेईमानी भिन्न (Fraction) के ऊपर जाती है, बेचते समय की नीचे।

The basics

Profit = SP − CP; Loss = CP − SPलाभ (Profit) = SP − CP; हानि (Loss) = CP − SP
Profit% = ProfitCP × 100; Loss% = LossCP × 100 (always on CP unless stated)लाभ (Profit)% = लाभCP × 100; हानि (Loss)% = हानिCP × 100 (जब तक अलग से न कहा जाए, हमेशा CP पर)
Effective CP = purchase price + all overheads (repair, transport, storage …)असली CP = खरीद मूल्य + सारे ऊपरी खर्च (मरम्मत, ढुलाई, भंडारण …)
CP = Profit × 100Profit%; CP = Loss × 100Loss%CP = लाभ × 100लाभ%; CP = हानि × 100हानि%
Wastage: price per good piece = Total cost × (100 + p)100 × Good piecesबर्बादी: प्रति अच्छी वस्तु कीमत = कुल लागत × (100 + p)100 × अच्छी वस्तुएँ

Multiplying factor and ratio

SP = CP × 100 + P%100; SP = CP × 100 − L%100SP = CP × 100 + लाभ%100; SP = CP × 100 − हानि%100
CP = SP × 100100 + P%; CP = SP × 100100 − L%CP = SP × 100100 + लाभ%; CP = SP × 100100 − हानि%
CP : SP = a : b ⇒ Profit% = b − aa × 100CP : SP = a : b ⇒ लाभ (Profit)% = b − aa × 100
x% of CP = y% of SP ⇒ CP : SP = y : xCP का x% = SP का y% ⇒ CP : SP = y : x
Pairs to remember: 10% → 10 : 11, 1212% → 8 : 9, 20% → 5 : 6, 25% → 4 : 5, 3313% → 3 : 4, 50% → 2 : 3 (profit); 20% → 5 : 4, 25% → 4 : 3 (loss)याद रखने लायक जोड़ियाँ: 10% → 10 : 11, 1212% → 8 : 9, 20% → 5 : 6, 25% → 4 : 5, 3313% → 3 : 4, 50% → 2 : 3 (लाभ (Profit)); 20% → 5 : 4, 25% → 4 : 3 (हानि (Loss))

Profit on SP

p% profit on SP = p100 − p × 100% on CPSP पर p% लाभ (Profit) = CP पर p100 − p × 100%
l% loss on SP = l100 + l × 100% on CPSP पर l% हानि (Loss) = CP पर l100 + l × 100%

Two selling prices of the same article

SP₂ = SP₁ × 100 ± b100 ± a
CP = Difference of SPs × 100Difference (same kind) or sum (profit & loss) of %CP = SP का अंतर × 100% का अंतर (दोनों एक तरह के) या % का जोड़ (एक लाभ, एक हानि)
Profit at SP₁ = Loss at SP₂ ⇒ CP = SP₁ + SP₂2SP₁ पर लाभ (Profit) = SP₂ पर हानि (Loss) ⇒ CP = SP₁ + SP₂2
Profit at SP₁ = n × Loss at SP₂ ⇒ CP = SP₁ + n × SP₂n + 1SP₁ पर लाभ (Profit) = n × SP₂ पर हानि (Loss) ⇒ CP = SP₁ + n × SP₂n + 1

Successive selling and changes

Final price = First CP × 100 ± a100 × 100 ± b100 × …आख़िरी कीमत = पहला CP × 100 ± a100 × 100 ± b100 × …
Successive a% and b%: net = a + b + ab100 (losses negative)क्रमागत a% और b%: कुल = a + b + ab100 (हानि (Loss) को ऋणात्मक लो)
CP and SP changed by the same % ⇒ profit% unchangedक्रय मूल्य (CP) और विक्रय मूल्य (SP) एक ही % से बदलें ⇒ लाभ (Profit)% वही रहता है

Articles and rates

CP of x = SP of y ⇒ Profit/Loss% = x − yy × 100x का CP = y का SP ⇒ लाभ (Profit)/हानि (Loss)% = x − yy × 100
Selling N: profit = SP of n ⇒ nN − n × 100; profit = CP of n ⇒ nN × 100N बेचकर: लाभ (Profit) = n का SP ⇒ nN − n × 100; लाभ = n का CP ⇒ nN × 100
Selling N: loss = SP of n ⇒ nN + n × 100; loss = CP of n ⇒ nN × 100N बेचकर: हानि (Loss) = n का SP ⇒ nN + n × 100; हानि = n का CP ⇒ nN × 100
Buy x for ₹a, sell y for ₹b ⇒ Profit% = bx − ayay × 100x वस्तुएँ ₹a में खरीदो, y वस्तुएँ ₹b में बेचो ⇒ लाभ (Profit)% = bx − ayay × 100
Number to sell for ₹A at p% profit = ACP of one × 100 + p100₹A में p% लाभ (Profit) के लिए बेची जाने वाली संख्या = Aएक का CP × 100 + p100

Many articles, same SP, dishonest dealer

Break-even split: p₁% profit on A, p₂% loss on B, no overall profit or loss ⇒ A : B = p₂ : p₁न लाभ (Profit) न हानि (Loss) वाला बँटवारा: A पर p₁% लाभ, B पर p₂% हानि, कुल मिलाकर न लाभ न हानि ⇒ A : B = p₂ : p₁
Overall % = Total SP − Total CPTotal CP × 100 = Σ CP_i p_iΣ CP_iकुल % = कुल SP − कुल CPकुल CP × 100 = Σ CP_i p_iΣ CP_i
Same SP, x% profit and x% loss ⇒ loss of x²100%एक ही SP, x% लाभ (Profit) और x% हानि (Loss) ⇒ x²100% की हानि
Same SP, x% profit and x% loss ⇒ loss in ₹ = 2 × SP × x²100² − x²एक ही SP, x% लाभ (Profit) और x% हानि (Loss) ⇒ रुपयों में हानि = 2 × SP × x²100² − x²
Same CP, x% profit and x% loss ⇒ no profit, no lossएक ही क्रय मूल्य (CP), x% लाभ (Profit) और x% हानि (Loss) ⇒ न लाभ न हानि
False weight at CP: Profit% = True − FalseFalse × 100CP पर बेचने का दावा, गलत वज़न: लाभ (Profit)% = सही − गलतगलत × 100
False weight with claimed p%: SPCP = 100 ± p100 × TrueFalseगलत वज़न + p% का दावा: SPCP = 100 ± p100 × सहीगलत
Buys n articles for the price of m, sells at d% off that price ⇒ SPCP = n × (100 − d)100 × mm की कीमत पर n वस्तुएँ खरीदे, उसी कीमत से d% कम में बेचे ⇒ SPCP = n × (100 − d)100 × m

Commission, brokerage, losses and cheating on both sides

Profit per rupee of CP = Profit%100; k paise per rupee of SP ⇒ k100 − k × 100 % on CPCP के प्रति रुपये लाभ (Profit) = लाभ%100; SP के प्रति रुपये k पैसे ⇒ CP पर k100 − k × 100 %
Fraction f lost, rest at p% profit: Total SP = Total CP × (1 − f)(1 + p100)f भाग खोया, बाकी p% लाभ (Profit) पर: कुल SP = कुल CP × (1 − f)(1 + p100)
Cheats x% buying, y% selling, sells at p%: SP : CP = (100 ± p)(100 + x) : 100(100 − y)खरीद में x%, बिक्री में y% बेईमानी, p% पर बिक्री: SP : CP = (100 ± p)(100 + x) : 100(100 − y)
Commission c% on SP, profit p%: SP(100 − c) = CP(100 + p)SP पर c% कमीशन, p% लाभ (Profit): SP(100 − c) = CP(100 + p)
Brokerage b%: buyer's cost = Price(1 + b100); seller's receipt = Price(1 − b100)b% दलाली: खरीदार की लागत = कीमत(1 + b100); विक्रेता की प्राप्ति = कीमत(1 − b100)
Bill including g% GST: seller's SP = Bill × 100100 + gg% GST सहित बिल: विक्रेता का SP = बिल × 100100 + g

9. Discount Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

Discount is always on MP; profit and markup are always on CP.छूट (Discount) हमेशा अंकित मूल्य (MP) पर; लाभ (Profit) और markup हमेशा क्रय मूल्य (CP) पर।
Read the paying fraction: 25% off ⇒ pay 34; 15% off ⇒ pay 1720; 1212% off ⇒ pay 78.देने वाला भिन्न (Fraction) पढ़ें: 25% off ⇒ 34 दो; 15% off ⇒ 1720 दो; 1212% off ⇒ 78 दो।
MP from SP: divide by the paying fraction, never add d% of SP.SP से MP: देने वाले भिन्न (Fraction) से भाग दो, SP का d% कभी न जोड़ें।
Same MP, two discount rates: the SPs differ by (d₁ − d₂)% of MP.MP वही और छूट (Discount) की दो दरें: दोनों SP का अंतर = MP का (d₁ − d₂)%।
"300% more than" means 400%, not 300%. Fix the base before you write MP = SP + D."300% अधिक" का मतलब 400% है, 300% नहीं। MP = SP + D लिखने से पहले आधार (Base) तय करें।
Successive discounts multiply: 25% and 10% = 32.5%, never 35%. The order does not matter.क्रमागत छूट (Successive discount) गुणा होती है: 25% और 10% = 32.5%, कभी 35% नहीं। क्रम से कोई फ़र्क नहीं पड़ता।
The second discount% is on the price after the first discount, not on the MP.दूसरी छूट (Discount)% पहली छूट के बाद वाली कीमत पर होती है, अंकित मूल्य (MP) पर नहीं।
GST/VAT is charged on the discounted price; "additional x%" is a successive discount.GST/VAT छूट (Discount) वाली कीमत पर लगता है; "अतिरिक्त x%" एक क्रमागत छूट (Successive discount) है।
Markup M% and discount D% ⇒ profit = M − D − MD100. 50% and 30% give 5%, not 20%.Markup M% और छूट (Discount) D% ⇒ लाभ (Profit) = M − D − MD100। 50% और 30% से 5% आता है, 20% नहीं।
The ratio method: MPCP = 100 + P100 − D. Reduce the ratio and match the rupee value to its part.अनुपात (Ratio) वाला तरीका: MPCP = 100 + P100 − D। अनुपात को छोटा करें और रुपये वाले मान (Value) को उसके भाग से मिलाएँ।
If SP and profit% are given, CP = SP × 100100 + P directly; the discount is extra information.अगर SP और लाभ (Profit)% दिए हैं, तो सीधे CP = SP × 100100 + P; छूट (Discount) यहाँ फ़ालतू जानकारी है।
Discount% from markup and profit: divide (MP − SP) by MP. Maximum no-loss discount = M100 + M.Markup और लाभ (Profit) से छूट (Discount)%: (MP − SP) को MP से भाग दो। बिना हानि (Loss) अधिकतम छूट = M100 + M।
Rupee profit or loss: find the net % with CP = 100 first, then match the rupees to that %.रुपये में लाभ (Profit) या हानि (Loss): पहले CP = 100 लेकर शुद्ध % निकालें, फिर रुपये को उसी % से मिलाएँ।
Buy x Get y free ⇒ yx + y. Buy 4 Get 1 = 20%, not 25%.x खरीदो y मुफ़्त ⇒ yx + y। 4 खरीदो 1 मुफ़्त = 20%, 25% नहीं।
Letter prices (₹P, ₹X) always cancel: put the letter = 100 or another convenient number and work through the chain of factors.अक्षरों वाले मूल्य (₹P, ₹X) हमेशा कट जाते हैं: अक्षर = 100 या कोई आसान संख्या रखें और गुणकों (Multiplying factors) की श्रृंखला से हल करें।
Two situations on the same item: CP and MP stay fixed, only the SP changes. Difference in profit = difference in SP = (d₁ − d₂)% of MP; the CP is not needed.एक ही वस्तु की दो स्थितियाँ: CP और MP वही रहते हैं, सिर्फ़ SP बदलता है। लाभ (Profit) का अंतर = SP का अंतर = MP का (d₁ − d₂)%; CP की ज़रूरत नहीं।
In a chain (wholesaler → retailer → customer), every profit, markup or fee is on that person's own buying price. Write all the factors in one line and multiply once.थोक व्यापारी → खुदरा व्यापारी → ग्राहक वाली कड़ी में हर लाभ (Profit), markup या शुल्क उसी व्यक्ति की अपनी खरीद कीमत पर होता है। सारे गुणक (Multiplying factors) एक लाइन में लिखें और एक बार में गुणा करें।
Comparing two offers: compare what the customer pays. Buy 2 Get 1 free means paying 23 ≈ 0.667, which beats two successive 15% discounts (0.85 × 0.85 = 0.7225).दो ऑफ़र की तुलना: देखें ग्राहक कितना देता है। 2 खरीदो 1 मुफ़्त में 23 ≈ 0.667 देना पड़ता है, जो 15% की दो क्रमागत छूट (0.85 × 0.85 = 0.7225) से बेहतर है।
When the options are far apart, use the net factor to estimate (×1.08, ×0.9945) and pick the nearest option instead of dividing fully.जब विकल्पों में काफ़ी अंतर हो, तो शुद्ध गुणक (Net factor) (×1.08, ×0.9945) से अंदाज़ा लगाएँ और पूरा भाग देने की जगह सबसे पास वाला विकल्प चुनें।

Basic relations

Discount = MP − SP; Discount% = MP − SPMP × 100 (always on MP)छूट (Discount) = MP − SP; छूट% = MP − SPMP × 100 (हमेशा MP पर)
SP = MP × 100 − d100; MP = SP × 100100 − d
Markup% = MP − CPCP × 100 (on CP); no discount ⇒ SP = MP and markup% = profit%Markup% = MP − CPCP × 100 (CP पर); छूट (Discount) न हो ⇒ SP = MP और markup% = लाभ (Profit)%
MP = SP + Discount; discount can never exceed 100%MP = SP + छूट (Discount); छूट कभी 100% से ज़्यादा नहीं हो सकती
Same MP, rates d₁% and d₂%: difference of SPs = (d₁ − d₂)% of MP; New SP = Old SP × 100 − d₂100 − d₁MP वही, दरें d₁% और d₂%: दोनों SP का अंतर = MP का (d₁ − d₂)%; नया SP = पुराना SP × 100 − d₂100 − d₁

MP : SP values

5% → 20 : 19, 10% → 10 : 9, 1212% → 8 : 7, 15% → 20 : 17, 1623% → 6 : 5
20% → 5 : 4, 25% → 4 : 3, 30% → 10 : 7, 3313% → 3 : 2, 40% → 5 : 3, 50% → 2 : 1

Successive discounts

SP = MP × 100 − x100 × 100 − y100 × 100 − z100
Single equivalent of x% and y% = x + y − xy100; two equal x% = 2x − x²100x% और y% का एकल समतुल्य = x + y − xy100; दो बराबर x% = 2x − x²100
Three discounts: x + y + z − xy + yz + zx100 + xyz10000तीन छूट (Discount): x + y + z − xy + yz + zx100 + xyz10000
If D is equivalent to x% and y%: y = D − x100 − x × 100; order of discounts does not matterअगर D, x% और y% के समतुल्य है: y = D − x100 − x × 100; छूटों (Discounts) के क्रम से कोई फ़र्क नहीं पड़ता

Markup, discount and profit (CP : MP ratio)

CP × (100 + P) = MP × (100 − D) ⇒ MPCP = 100 + P100 − D (loss: 100 − L)CP × (100 + P) = MP × (100 − D) ⇒ MPCP = 100 + P100 − D (हानि (Loss) हो तो 100 − L)
Profit% = M − D − MD100 (M = markup%, D = discount%)लाभ (Profit)% = M − D − MD100 (M = markup%, D = छूट (Discount)%)
Markup% = P + D100 − D × 100; Discount% = M − P100 + M × 100Markup% = P + D100 − D × 100; छूट (Discount)% = M − P100 + M × 100
Maximum discount without loss = M100 + M × 100बिना हानि (Loss) अधिकतम छूट (Discount) = M100 + M × 100
Flat discount ₹F after the % steps: CP × 100 + M100 × 100 − D100 − F = CP × 100 + P100प्रतिशत वाले कदमों के बाद ₹F की सीधी छूट (Discount): CP × 100 + M100 × 100 − D100 − F = CP × 100 + P100
Bought at d% off MP, sold at s% above MP: Profit% = s + d100 − d × 100MP पर d% off पर खरीदा, MP से s% ऊपर बेचा: लाभ (Profit)% = s + d100 − d × 100

Offers, taxes and free articles

Tax t% on the discounted price: Bill = MP × 100 − d100 × 100 + t100छूट (Discount) वाली कीमत पर t% कर: बिल = MP × 100 − d100 × 100 + t100
Buy x, Get y free: Discount% = yx + y × 100x खरीदो, y मुफ़्त: छूट (Discount)% = yx + y × 100
Price chain: Final = Starting price × (product of all factors); Starting price = Final ÷ (product)कीमतों की कड़ी (Price chain): अंतिम = शुरुआती कीमत × (सारे गुणकों (Multiplying factor) का गुणनफल (Product)); शुरुआती कीमत = अंतिम ÷ (गुणनफल)

10. Simple Interest Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

In SI the interest is always on the original principal, so every year's interest is equal.साधारण ब्याज (SI) में ब्याज (Interest) हमेशा मूल मूलधन (Principal) पर लगता है, इसलिए हर साल का ब्याज बराबर होता है।
Read every question as "total percent = R × T". 8% for 5 years = 40% of P.हर प्रश्न को "कुल प्रतिशत = R × T" की तरह पढ़ें। 8% पर 5 साल = P का 40%।
P : SI : A = 100 : RT : (100 + RT). RT = 25% ⇒ 4 : 1 : 5.P : SI : A = 100 : RT : (100 + RT)। RT = 25% ⇒ 4 : 1 : 5।
Time must be in years: months ÷ 12, days ÷ 365. 73 days = 15 year.समय वर्षों में होना चाहिए: महीने ÷ 12, दिन ÷ 365। 73 दिन = 15 वर्ष।
When the amount is given, use P = A × 100100 + RT; never put A in place of SI.जब मिश्रधन (Amount) दिया हो, P = A × 100100 + RT लगाएँ; SI की जगह A कभी न रखें।
R = T ⇒ RT = R². SI = P ⇒ RT = 100.R = T ⇒ RT = R²। SI = P ⇒ RT = 100।
Becomes n times ⇒ interest is (n − 1)P. Doubling in 5 years ⇒ 3 times in 10, 4 times in 15.n गुनी ⇒ ब्याज (n − 1)P है। 5 साल में दोगुनी ⇒ 3 गुनी 10 में, 4 गुनी 15 में।
Two amounts after two times: difference ÷ gap in years = one year's SI; walk back to P.दो समय के बाद दो मिश्रधन (Amount): अंतर ÷ बीच के वर्ष = एक साल का SI; फिर पीछे चलकर P निकालें।
Extra interest from a change = P × (change in RT)%. 4% higher for 5 years = 20% of P.बदलाव से अतिरिक्त ब्याज (Interest) = P × (RT में बदलाव)%। 5 साल के लिए 4% ज़्यादा = P का 20%।
Different rates for different periods: add R × T of each period. Watch the "beyond" years.अलग अवधियों की अलग दरें: हर अवधि का R × T जोड़ें। "से आगे" वाले साल ध्यान से गिनें।
Same rate for many loans: add P × T (rupee-years). Same time: add P × R (one year's interest).कई ऋणों पर दर वही हो तो P × T (रुपया-वर्ष) जोड़ें। समय वही हो तो P × R (एक साल का ब्याज (Interest)) जोड़ें।
Two rates, find parts: average rate, then (higher − average) : (average − lower) = lower part : higher part.दो दरें, भाग निकालने हैं: पहले औसत (Average) दर, फिर (ज़्यादा − औसत) : (औसत − कम) = कम दर वाला भाग : ज़्यादा दर वाला भाग।
Equal interest ⇒ P ∝ 1RT; equal amounts ⇒ P ∝ 1100 + RT.बराबर ब्याज (Interest) ⇒ P ∝ 1RT; बराबर मिश्रधन (Amount) ⇒ P ∝ 1100 + RT।
Present worth = A × 100100 + RT; in instalments, each instalment earns interest for the years left.वर्तमान मूल्य = A × 100100 + RT; किस्तों में हर किस्त बचे हुए वर्षों का ब्याज (Interest) कमाती है।
When interest is added to the principal after a block of years, a new SI starts on the bigger principal. This is the bridge to Compound Interest.कुछ वर्षों बाद ब्याज मूलधन (Principal) में जुड़ जाए, तो बड़े मूलधन पर नया साधारण ब्याज (SI) शुरू होता है। यही चक्रवृद्धि ब्याज (Compound Interest) तक पहुँचने का पुल है।
"More than n times in the least complete years": find (n − 1) × 100R and take the next whole number above it."कम-से-कम पूर्ण वर्षों में n गुने से अधिक": (n − 1) × 100R निकालें और उससे ऊपर वाली अगली पूर्ण संख्या (Whole number) लो।
Cash vs credit: m items in cash = n items on one-year credit ⇒ R = m − nn × 100 (₹n grows to ₹m).नकद बनाम उधार: नकद में m वस्तुएँ = एक साल के उधार पर n वस्तुएँ ⇒ R = m − nn × 100 (₹n बढ़कर ₹m बनते हैं)।
Instalments: the last instalment earns nothing, the first earns for (n − 1) years. Check whether the given sum is the loan taken today (find A first) or the sum to be paid.किस्तें: आखिरी किस्त कुछ नहीं कमाती, पहली (n − 1) साल तक कमाती है। देखें कि दी गई राशि आज लिया गया ऋण है (पहले A निकालें) या चुकाई जाने वाली राशि।

Basic formulas

SI = P × R × T100; A = P + SI = P × 100 + RT100
P = SI × 100RT; R = SI × 100PT; T = SI × 100PR; P = A × 100100 + RT
SI = (R × T)% of P; P : SI : A = 100 : RT : (100 + RT)SI = P का (R × T)%; P : SI : A = 100 : RT : (100 + RT)
R = T ⇒ RT = R²; SI = xy of P ⇒ RT = 100xy; SI = P ⇒ RT = 100R = T ⇒ RT = R²; SI = P का xy ⇒ RT = 100xy; SI = P ⇒ RT = 100

Time conversions

T = months12 = days365; 73 days = 15 year, 146 days = 25, 219 days = 35T = महीने12 = दिन365; 73 दिन = 15 वर्ष, 146 दिन = 25, 219 दिन = 35
Between two dates: count one of the two end days (both only if stated)दो तारीखों के बीच: दोनों छोरों में से एक ही दिन गिनें (दोनों तभी, जब लिखा हो)
Rates as fractions: 1212% = 18, 813% = 112, 614% = 116, 1623% = 16, 623% = 115दरें भिन्न (Fraction) में: 1212% = 18, 813% = 112, 614% = 116, 1623% = 16, 623% = 115

Sum becomes n times; two amounts

Becomes n times ⇒ SI = (n − 1)P ⇒ RT = (n − 1) × 100; doubles in T years ⇒ R = 100Tn गुनी ⇒ SI = (n − 1)P ⇒ RT = (n − 1) × 100; T वर्षों में दोगुनी ⇒ R = 100T
Same rate: n₁ − 1T₁ = n₂ − 1T₂; same time: n₁ − 1R₁ = n₂ − 1R₂दर वही: n₁ − 1T₁ = n₂ − 1T₂; समय वही: n₁ − 1R₁ = n₂ − 1R₂
A₁ after T₁, A₂ after T₂: one year's SI = A₂ − A₁T₂ − T₁; P = A₁T₂ − A₂T₁T₂ − T₁T₁ बाद A₁, T₂ बाद A₂: एक वर्ष का SI = A₂ − A₁T₂ − T₁; P = A₁T₂ − A₂T₁T₂ − T₁

Proportion and change

SI ∝ P (R, T same); SI ∝ T (P, R same); SI ∝ RT (P same); equal SI ⇒ P₁R₁T₁ = P₂R₂T₂SI ∝ P (R, T वही); SI ∝ T (P, R वही); SI ∝ RT (P वही); बराबर SI ⇒ P₁R₁T₁ = P₂R₂T₂
Extra SI = P × (R₂T₂ − R₁T₁)100; rate up by r for T years ⇒ extra = PrT100अतिरिक्त SI = P × (R₂T₂ − R₁T₁)100; T वर्षों के लिए दर r बढ़े ⇒ अतिरिक्त SI = PrT100
Y = SI on X, Z = SI on Y (same R, T) ⇒ Y² = XZY = X पर SI, Z = Y पर SI (R, T वही) ⇒ Y² = XZ

Different rates and parts

Rates for periods: SI = P(R₁T₁ + R₂T₂ + …)100अलग अवधियों की अलग दरें: SI = P(R₁T₁ + R₂T₂ + …)100
Same rate, many loans: SI = R(P₁T₁ + P₂T₂ + …)100; same time: SI = T(P₁R₁ + P₂R₂ + …)100दर वही, कई ऋण: SI = R(P₁T₁ + P₂T₂ + …)100; समय वही: SI = T(P₁R₁ + P₂R₂ + …)100
Average rate = yearly SItotal sum × 100; part at R₁ : part at R₂ = (R₂ − R_avg) : (R_avg − R₁)औसत (Average) दर = सालाना SIकुल राशि × 100; R₁ वाला भाग : R₂ वाला भाग = (R₂ − R_avg) : (R_avg − R₁)
Equal interest: P ∝ 1RT; equal amounts: P ∝ 1100 + RTबराबर ब्याज (Interest): P ∝ 1RT; बराबर मिश्रधन (Amount): P ∝ 1100 + RT

Present worth, credit and instalments

Present worth = A × 100100 + RTवर्तमान मूल्य = A × 100100 + RT
m items cash = n items on 1-year credit ⇒ R = m − nn × 100नकद m वस्तुएँ = 1 वर्ष उधार पर n वस्तुएँ ⇒ R = m − nn × 100
n equal yearly instalments x for a debt worth A at the end: A = x[n + n(n − 1)R200]अंत में A मूल्य वाले ऋण की n बराबर सालाना किस्तें x: A = x[n + n(n − 1)R200]
Interest added to principal every k years ⇒ multiply by 100 + Rk100 for each block of k yearsहर k वर्ष बाद ब्याज (Interest) मूलधन (Principal) में जुड़े ⇒ हर k वर्ष के हिस्से के लिए 100 + Rk100 से गुणा करें

11. Compound Interest Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

For 1 year (yearly compounding) CI = SI; the gap starts only from the 2nd year.1 साल के लिए (वार्षिक चक्रवृद्धि) CI = SI; अंतर दूसरे साल से ही शुरू होता है।
Turn the rate into a fraction: P : A = yⁿ : (y + x)ⁿ. 10% ⇒ 100 : 121, 1000 : 1331.दर (Rate) को भिन्न (Fraction) में बदलें: P : A = yⁿ : (y + x)ⁿ। 10% ⇒ 100 : 121, 1000 : 1331।
Know by heart: 10% ⇒ 21%, 33.1%; 5% ⇒ 10.25%, 15.7625%; 20% ⇒ 44%, 72.8%.ज़बानी याद: 10% ⇒ 21%, 33.1%; 5% ⇒ 10.25%, 15.7625%; 20% ⇒ 44%, 72.8%।
If CI is given, divide by (factor − 1), not by the factor.अगर चक्रवृद्धि ब्याज (CI) दिया है, तो (गुणनखंड − 1) से भाग दो, पूरे गुणनखंड (Factor) से नहीं।
Fraction of a year under yearly compounding gets simple interest on the amount: 212 yrs at 10% ⇒ 1.1 × 1.1 × 1.05.वार्षिक चक्रवृद्धि में साल के बचे हिस्से पर, मिश्रधन (Amount) पर साधारण ब्याज (Simple interest) लगता है: 10% पर 212 साल ⇒ 1.1 × 1.1 × 1.05।
Half-yearly: rate ÷ 2, time × 2. Quarterly: rate ÷ 4, time × 4. Every m months: rate × m12.अर्धवार्षिक: दर ÷ 2, समय × 2। तिमाही: दर ÷ 4, समय × 4। हर m महीने पर: दर × m12।
Effective rate of R% half-yearly = R + R²400; 10% ⇒ 10.25%.R% अर्धवार्षिक की प्रभावी दर (Effective rate) = R + R²400; 10% ⇒ 10.25%।
Depreciation: multiply by (1 − R100) every year; for past value, divide.मूल्यह्रास (Depreciation): हर साल (1 − R100) से गुणा करें; पहले का मूल्य निकालना हो, तो भाग दो।
Two consecutive amounts or interests: R = differenceearlier one × 100.लगातार दो मिश्रधन (Amount) या दो सालों के ब्याज (Interest): R = अंतरपहले वाला × 100।
k times in t years ⇒ k² times in 2t, k³ times in 3t years.t साल में k गुना ⇒ 2t में k² गुना, 3t साल में k³ गुना।
CI − SI: 2 years = P(R100)²; 3 years = P(R100)²(3 + R100).CI − SI: 2 साल = P(R100)²; 3 साल = P(R100)²(3 + R100)।
SI and CI for 2 years given ⇒ R = CI − SISI2 × 100.2 साल का SI और CI दिया ⇒ R = CI − SISI2 × 100।
Equal amounts at different times: the shorter-period part is bigger by the factor of the gap years.अलग-अलग समय पर बराबर मिश्रधन (Amount): कम अवधि वाला हिस्सा, अंतर वाले सालों के गुणनखंड (Factor) जितना बड़ा होता है।
SI instalments: D = x[n + R100 × n(n−1)2]; CI instalments: loan = sum of present values.SI किस्तें: D = x[n + R100 × n(n−1)2]; CI किस्तें: क़र्ज़ = सभी किस्तों के वर्तमान मूल्यों (Present values) का जोड़।
Withdrawals, additions and part payments: follow the balance year by year.निकासी, जमा और आंशिक भुगतान: शेष राशि (Balance) को साल-दर-साल आगे बढ़ाओ।
Interest of the n-th year = R% of the amount after (n − 1) years; it is not the CI for n years.n-वें साल का ब्याज (Interest) = (n − 1) साल बाद के मिश्रधन (Amount) का R%; यह n साल का CI नहीं है।
Half-yearly reverse questions: the rate you get is per half-year, so double it for the annual rate; and 3 half-years = 18 months.अर्धवार्षिक वाले उल्टे प्रश्न: जो दर मिलती है वह एक छमाही की है, वार्षिक दर के लिए उसे दोगुना करें; और 3 छमाही = 18 महीने।
Amounts of consecutive years are in the ratio 100 : (100 + R); the principal does not matter.लगातार सालों के मिश्रधन (Amount) 100 : (100 + R) के अनुपात (Ratio) में होते हैं; मूलधन (Principal) से कोई फ़र्क नहीं पड़ता।
CI instalments at 10%: P : x = 210 : 121 (2 instalments), 3310 : 1331 (3 instalments); at 5%: 820 : 441.10% पर CI किस्तें: P : x = 210 : 121 (2 किस्तें), 3310 : 1331 (3 किस्तें); 5% पर: 820 : 441।

Basic results

A = P(1 + R100)ⁿ; CI = A − P
Rate xy ⇒ P : A = yⁿ : (y + x)ⁿदर xy ⇒ P : A = yⁿ : (y + x)ⁿ
For 1 year (yearly compounding), CI = SI1 साल के लिए (वार्षिक चक्रवृद्धि) CI = SI
2-year CI % = 2R + R²100; 3-year CI % = 3R + 3R²100 + R³100002 साल का CI % = 2R + R²100; 3 साल का CI % = 3R + 3R²100 + R³10000
Key values: 5% ⇒ 10.25%, 15.7625%; 10% ⇒ 21%, 33.1%, 46.41% (4 yrs); 20% ⇒ 44%, 72.8%मुख्य मान (Values): 5% ⇒ 10.25%, 15.7625%; 10% ⇒ 21%, 33.1%, 46.41% (4 साल); 20% ⇒ 44%, 72.8%
P = A(1 + R100)ⁿ (present value); P = CI(1 + R100)ⁿ − 1P = A(1 + R100)ⁿ (वर्तमान मूल्य (Present value)); P = CI(1 + R100)ⁿ − 1

Changing rates, fractions of a year, other periods

Different rates: A = P(1 + R₁100)(1 + R₂100)(1 + R₃100)अलग-अलग दरें: A = P(1 + R₁100)(1 + R₂100)(1 + R₃100)
n years + fraction f (yearly compounding): A = P(1 + R100)ⁿ(1 + fR100)n साल + साल का भिन्न (Fraction) f (वार्षिक चक्रवृद्धि): A = P(1 + R100)ⁿ(1 + fR100)
Half-yearly: A = P(1 + R200)²ⁿ; quarterly: A = P(1 + R400)⁴ⁿअर्धवार्षिक (Half-yearly): A = P(1 + R200)²ⁿ; तिमाही (Quarterly): A = P(1 + R400)⁴ⁿ
Period of m months: rate = R × m12, periods = total monthsmm महीने की अवधि: दर = R × m12, अवधियाँ = कुल महीनेm
Effective annual rate (half-yearly) = R + R²400 %प्रभावी वार्षिक दर (Effective annual rate), अर्धवार्षिक = R + R²400 %
1 year: CI(half-yearly) − CI(yearly) = P(R200)²1 साल: CI(अर्धवार्षिक) − CI(वार्षिक) = P(R200)²
Population: P(1 + R100)ⁿ; depreciation: V(1 − R100)ⁿजनसंख्या (Population): P(1 + R100)ⁿ; मूल्यह्रास (Depreciation): V(1 − R100)ⁿ

Year-wise interest and amounts

Interest of n-th year = P(1 + R100)ⁿ⁻¹ × R100n-वें साल का ब्याज (Interest) = P(1 + R100)ⁿ⁻¹ × R100
Yearly interests and yearly amounts are in GP with ratio (1 + R100)हर साल के ब्याज (Interest) और हर साल के मिश्रधन (1 + R100) अनुपात (Ratio) वाली GP में होते हैं
R = A_t+1 − A_tA_t × 100 = I_n+1 − I_nI_n × 100
P = A_t²A_2t
k times in t years ⇒ k^m times in mt years; 1 + R100 = k^1tt साल में k गुना ⇒ mt साल में k^m गुना; 1 + R100 = k^1t

CI and SI together

CI − SI (2 years) = P(R100)²CI − SI (2 साल) = P(R100)²
CI − SI (3 years) = P(R100)²(3 + R100)CI − SI (3 साल) = P(R100)²(3 + R100)
2 years: R = 2(CI − SI)SI × 100; CISI = 200 + R2002 साल: R = 2(CI − SI)SI × 100; CISI = 200 + R200
Difference % (2 yrs) = R²100: 5% ⇒ 0.25, 10% ⇒ 1, 15% ⇒ 2.25, 20% ⇒ 42 साल का अंतर % = R²100: 5% ⇒ 0.25, 10% ⇒ 1, 15% ⇒ 2.25, 20% ⇒ 4
Difference % (3 yrs): 5% ⇒ 0.7625, 10% ⇒ 3.1, 20% ⇒ 12.83 साल का अंतर %: 5% ⇒ 0.7625, 10% ⇒ 3.1, 20% ⇒ 12.8

Division of a sum and instalments

Equal amounts after n₁ and n₂ years (a for n₁ years, b for n₂ years): a : b = (1 + R100)^{n₂ − n₁} : 1n₁ और n₂ साल बाद बराबर मिश्रधन (a को n₁ साल, b को n₂ साल): a : b = (1 + R100)^{n₂ − n₁} : 1
SI instalments: debt due D = x[n + R100 × n(n − 1)2]SI किस्तें: देय क़र्ज़ D = x[n + R100 × n(n − 1)2]
Cash-down: rate = interestamount borrowed × 12months × 100नकद अग्रिम योजना (Cash-down): दर = ब्याजउधार राशि × 12महीने × 100
CI instalments: P = x(1 + R100) + x(1 + R100)² + … + x(1 + R100)ⁿCI किस्तें: P = x(1 + R100) + x(1 + R100)² + … + x(1 + R100)ⁿ
10%: P : x = 210 : 121 (2 instalments), 3310 : 1331 (3 instalments); 5%: 820 : 441; 4%: 1275 : 67610%: P : x = 210 : 121 (2 किस्तें), 3310 : 1331 (3 किस्तें); 5%: 820 : 441; 4%: 1275 : 676

12. Ratio and Proportion Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

A ratio tells parts, not actual values. Write A = ak, B = bk and let the question fix k.अनुपात (Ratio) भाग बताता है, असली मान (Values) नहीं। A = ak, B = bk लिखें और k को प्रश्न से तय होने दो।
Same unit first, then simplify by HCF. 3 hours : 100 minutes = 9 : 5.पहले एक ही इकाई, फिर HCF से सरल करें। 3 घंटे : 100 मिनट = 9 : 5।
pA = qB gives A : B = q : p. Check by putting the values back.pA = qB से A : B = q : p। मान (Values) वापस रखकर जाँच लें।
For expressions in a and b, just put a and b equal to the ratio terms.a और b वाले व्यंजकों (Expressions) में a और b की जगह अनुपात (Ratio) के पद (Terms) रख दें।
To join A : B and B : C, make B equal by LCM. For A : C alone, multiply the fractions.A : B और B : C जोड़ने के लिए B को LCM से बराबर करें। सिर्फ़ A : C चाहिए तो भिन्नें (Fractions) गुणा करें।
1 part = whatever is given ÷ its own parts. Then any share or difference is parts × 1 part.1 भाग = जो दिया है ÷ उसके अपने भाग। फिर कोई भी हिस्सा या अंतर = भाग × 1 भाग।
Fractional ratios: multiply by the LCM of denominators. pX = qY = rZ ⇒ qr : pr : pq.भिन्नात्मक अनुपात (Fractional ratios): हरों (Denominators) के LCM से गुणा करें। pX = qY = rZ ⇒ qr : pr : pq।
Mean proportional = √ab, third proportional = b²a, fourth proportional = bca.मध्यानुपाती (Mean proportional) = √ab, तृतीयानुपाती (Third proportional) = b²a, चतुर्थानुपाती (Fourth proportional) = bca।
Areas of squares 16 : 25 ⇒ sides 4 : 5. Radius becomes 3 times ⇒ volume becomes 27 times.वर्गों (Squares) के क्षेत्रफल (Areas) 16 : 25 ⇒ भुजाएँ (Sides) 4 : 5। त्रिज्या (Radius) 3 गुना ⇒ आयतन (Volume) 27 गुना।
Direct proportion: ratio constant. Inverse proportion: product constant.अनुक्रमानुपात (Direct proportion): अनुपात (Ratio) स्थिर। व्युत्क्रमानुपात (Inverse proportion): गुणनफल (Product) स्थिर।
Ask "what stayed the same?" (one quantity, the difference or the total) and equalise it in both ratios.पूछें "क्या नहीं बदला?" (कोई एक राशि, अंतर या कुल) और उसे दोनों अनुपातों (Ratios) में बराबर करें।
Percentage changes on a ratio: multiply each term by its own factor; the total change is a weighted average.अनुपात (Ratio) पर प्रतिशत बदलाव: हर पद (Term) को उसके अपने गुणक (Multiplying factor) से गुणा करें; कुल में बदलाव भारित औसत (Weighted average) होता है।
Interchanged-order questions: test the option ratio with the price ratio directly; the given quantity is not needed.आपस में बदले ऑर्डर वाले प्रश्न: विकल्प वाले अनुपात (Ratio) को कीमतों के अनुपात के साथ सीधे जाँचें; दी गई संख्या की ज़रूरत नहीं।
Income − Expenditure = Savings. Use different multipliers for income and expenditure.आय − व्यय = बचत। आय और व्यय के लिए अलग-अलग गुणक (Multiplying factor) लो।
Age difference never changes. In coins, Value = Number × Denomination.उम्र का अंतर कभी नहीं बदलता। सिक्कों में मान (Value) = संख्या × मूल्यवर्ग।
(x + y) : (x − y) = m : n ⇒ x : y = (m + n) : (m − n). That is componendo–dividendo in one line.(x + y) : (x − y) = m : n ⇒ x : y = (m + n) : (m − n)। यही योगांतरानुपात (Componendo–dividendo) एक पंक्ति में है।
"2 times X = 3 times Y" means X : Y = 3 : 2. The bigger multiplier goes with the smaller share."X का 2 गुना = Y का 3 गुना" मतलब X : Y = 3 : 2। जिसका गुणक (Multiplying factor) बड़ा है, उसका हिस्सा छोटा है।
Total parts = sum of all the terms. A difference of two shares = (difference of their parts) × 1 part.कुल भाग = सारे पदों (Terms) का योग। दो हिस्सों का अंतर = (उनके भागों का अंतर) × 1 भाग।
Before marking, read the last line again: original or final value, total or one share, present or future age.उत्तर लगाने से पहले आख़िरी पंक्ति फिर पढ़ें: मूल मान (Value) पूछा है या अंतिम, कुल या एक हिस्सा, वर्तमान उम्र या आगे की।

Basics of ratio

a : b = ab; a : b = ka : kb (k ≠ 0); both terms in the same unit; a ratio has no unita : b = ab; a : b = ka : kb (k ≠ 0); दोनों पद (Terms) एक ही इकाई में; अनुपात (Ratio) की कोई इकाई नहीं
A : B = a : b ⇒ A = ak, B = bk; total = (a + b)k; difference = (a − b)kA : B = a : b ⇒ A = ak, B = bk; कुल = (a + b)k; अंतर = (a − b)k
Comparing ab and cd: ad > bc ⇒ ab > cdab और cd की तुलना: ad > bc ⇒ ab > cd
pA = qB ⇒ A : B = q : p; x% of A = y% of B ⇒ A : B = y : xpA = qB ⇒ A : B = q : p; A का x% = B का y% ⇒ A : B = y : x
Componendo–dividendo: ab = cd ⇔ a + ba − b = c + dc − dयोगांतरानुपात (Componendo–dividendo): ab = cd ⇔ a + ba − b = c + dc − d

Special ratios

Inverse b : a; duplicate a² : b²; triplicate a³ : b³; sub-duplicate √a : √b; sub-triplicate ∛a : ∛bव्युत्क्रम b : a; वर्गानुपात a² : b²; घनानुपात a³ : b³; वर्गमूलानुपात √a : √b; घनमूलानुपात ∛a : ∛b
Compound ratio of a : b and c : d = ac : bda : b और c : d का मिश्रित अनुपात (Compound ratio) = ac : bd

Combining and dividing

A : B = a : b, B : C = c : d ⇒ A : B : C = ac : bc : bd
AD = AB × BC × CD
T in a : b : c ⇒ A = aa + b + c × T; 1 part = Ta + b + cT को a : b : c में ⇒ A = aa + b + c × T; 1 भाग = Ta + b + c
Fractional ratio: multiply all terms by the LCM of the denominatorsभिन्नात्मक अनुपात (Fractional ratio): सब पदों (Terms) को हरों (Denominators) के LCM से गुणा करें
pX = qY = rZ ⇒ X : Y : Z = qr : pr : pq
Numbers a : b (lowest form) with HCF H ⇒ aH and bHसंख्याएँ a : b (सरलतम रूप), HCF H ⇒ aH और bH

Proportion and variation

a : b :: c : d ⇔ ad = bc
Fourth proportional to a, b, c = bca; third proportional to a, b = b²a; mean proportional of a, b = √aba, b, c का चतुर्थानुपाती (Fourth proportional) = bca; a, b का तृतीयानुपाती (Third proportional) = b²a; a, b का मध्यानुपाती (Mean proportional) = √ab
x subtracted from a, b, c, d to make them proportional: x = ad − bc(a + d) − (b + c)a, b, c, d में से x घटाकर समानुपात (Proportion) बनाना: x = ad − bc(a + d) − (b + c)
Direct: y₁x₁ = y₂x₂; inverse: x₁y₁ = x₂y₂; y ∝ xⁿ ⇒ y₂y₁ = (x₂x₁)ⁿअनुक्रमानुपात: y₁x₁ = y₂x₂; व्युत्क्रमानुपात: x₁y₁ = x₂y₂; y ∝ xⁿ ⇒ y₂y₁ = (x₂x₁)ⁿ

Changing ratios and applications

Same number added to both ⇒ difference fixed; transfer between the two ⇒ total fixed; only one changes ⇒ the other fixedदोनों में एक ही संख्या जोड़ी ⇒ अंतर स्थिर; एक से दूसरे में भेजा ⇒ कुल स्थिर; सिर्फ़ एक बदला ⇒ दूसरा स्थिर
a : b with changes x%, y% ⇒ a(100 + x) : b(100 + y); total change = weighted average of changesa : b पर x%, y% बदलाव ⇒ a(100 + x) : b(100 + y); कुल बदलाव = बदलावों का भारित औसत (Weighted average)
Income = Expenditure + Savings; incomes a : b, expenditures c : d, equal savings S ⇒ x = S(c − d)bc − adआय = व्यय + बचत; आय a : b, व्यय c : d, बराबर बचत S ⇒ x = S(c − d)bc − ad
Ages: difference is constant; a : b now, c : d after n years ⇒ k = n(c − d)ad − bcउम्र: अंतर स्थिर; अभी a : b, n साल बाद c : d ⇒ k = n(c − d)ad − bc
Coins: Value = Number × Denomination; k = Total valuea d₁ + b d₂ + c d₃सिक्के: मान (Value) = संख्या × मूल्यवर्ग; k = कुल मानa d₁ + b d₂ + c d₃
Sex ratio = FemalesMales × 1000लिंगानुपात (Sex ratio) = महिलाएँपुरुष × 1000

13. Unitary Method and Chain Rule Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

Bring the given quantity down to one unit, then build up to what is asked.दी गई मात्रा को पहले एक इकाई तक लाओ, फिर पूछी गई मात्रा तक ले जाओ।
Change all units (dozen, hours, grams) before the first division.पहला भाग देने से पहले सारी इकाइयाँ (दर्जन, घंटे, ग्राम) बदल लो।
Direct variation: the ratio is fixed. New = old × newold.अनुक्रमानुपात: अनुपात (Ratio) स्थिर है। नया = पुराना × नयापुराना।
Inverse variation: the product is fixed. New = old × oldnew.व्युत्क्रमानुपात: गुणनफल (Product) स्थिर है। नया = पुराना × पुरानानया।
Test any pair by doubling one: if the other doubles it is direct, if it halves it is inverse.किसी भी जोड़ी को जाँचने के लिए एक को दोगुना करें: दूसरी दोगुनी हो तो सीधा, आधी हो तो उलटा।
Map areas and square tiles go with the square of the length ratio.नक्शे का क्षेत्रफल (Area) और वर्गाकार टाइलें लंबाई के अनुपात (Ratio) के वर्ग के साथ बदलती हैं।
In food questions, first subtract the days already passed, then change the group.भोजन वाले प्रश्नों में पहले बीते हुए दिन घटाएँ, फिर समूह बदलें।
Chain rule: one fraction per column, decided by more or less for that column alone.श्रृंखला नियम: हर कॉलम की एक भिन्न (Fraction), जिसकी दिशा केवल उसी कॉलम के ज़्यादा या कम से तय होती है।
When an output (bags, bill, wages) is asked, every input column is direct.जब उत्पादन (बैग, बिल, मज़दूरी) पूछा जाए, तो हर इनपुट कॉलम सीधा होता है।
a men or b women ⇒ a men = b women; convert everyone into one kind first.a आदमी या b औरतें ⇒ a आदमी = b औरतें; पहले सबको एक ही तरह में बदलें।
'Varies as the square' means the ratio is squared: double x, four times y.'वर्ग के अनुसार बदलता है' यानी अनुपात (Ratio) का वर्ग: x दोगुना तो y चार गुना।
Breaking a diamond whose value ∝ weight² always loses value.जिस हीरे का मूल्य ∝ भार² हो, उसे तोड़ने पर मूल्य हमेशा घटता है।
Rise of 1n ⇒ fall of 1n + 1; fall of 1n ⇒ rise of 1n − 1.1n वृद्धि ⇒ 1n + 1 कमी; 1n कमी ⇒ 1n − 1 वृद्धि।
Extra quantity after a price cut is bought at the new price: new price = money saved ÷ extra quantity.भाव घटने के बाद ज़्यादा मात्रा नए भाव पर आती है: नया भाव = बचे रुपये ÷ ज़्यादा मात्रा।

Unitary method

Value of one = Given valueGiven numberएक का मान = दिया गया मानदी गई संख्या
Value of n = Value of one × nn का मान = एक का मान × n
Quantity for money M = MPrice of one unitM रुपये में मात्रा = Mएक इकाई का भाव
Change units first: 1 dozen = 12, 1 hour = 60 min, 1 kg = 1,000 gपहले इकाई बदलें: 1 दर्जन = 12, 1 घंटा = 60 मिनट, 1 kg = 1,000 g

Direct and inverse variation

y ∝ x ⇒ yx = k ⇒ y₁x₁ = y₂x₂
New value = Old value × New quantityOld quantityनया मान = पुराना मान × नई मात्रापुरानी मात्रा
y ∝ 1x ⇒ xy = k ⇒ x₁ y₁ = x₂ y₂
New value = Old value × Old quantityNew quantityनया मान = पुराना मान × पुरानी मात्रानई मात्रा
Map: actual length = map length × scale; actual area = map area × scale²नक्शा: वास्तविक लंबाई = नक्शे की लंबाई × पैमाना; वास्तविक क्षेत्रफल (Area) = नक्शे का क्षेत्रफल × पैमाना²
Square tiles: N₁ × a₁² = N₂ × a₂² ; wheels: n₁ r₁ = n₂ r₂वर्गाकार टाइलें: N₁ × a₁² = N₂ × a₂² ; पहिए: n₁ r₁ = n₂ r₂

Provisions

Food left after t days = enough for the same group for (D − t) dayst दिन बाद बचा भोजन = उसी समूह के लिए (D − t) दिन का
New days = (D − t) × Old groupNew groupनए दिन = (D − t) × पुराना समूहनया समूह
Same food, more days: new daily ration = old ration × Old daysNew daysवही भोजन, ज़्यादा दिन: नया दैनिक राशन = पुराना राशन × पुराने दिननए दिन

Chain rule and the more–less rule

Q₁M₁ D₁ H₁ = Q₂M₂ D₂ H₂ (Q = output, bill or wages)Q₁M₁ D₁ H₁ = Q₂M₂ D₂ H₂ (Q = उत्पादन, बिल या मज़दूरी)
Bill = persons × days × rate per person per dayबिल = व्यक्ति × दिन × प्रति व्यक्ति प्रति दिन दर
Chain line: Answer = Old answer × (fraction for column 1) × (fraction for column 2) × …श्रृंखला पंक्ति: उत्तर = पुराना उत्तर × (कॉलम 1 की भिन्न (Fraction)) × (कॉलम 2 की भिन्न) × …
M₁ D₁ H₁W₁ = M₂ D₂ H₂W₂ (see Time and Work, Type 11)M₁ D₁ H₁W₁ = M₂ D₂ H₂W₂ (समय और कार्य, Type 11 देखें)
More–less: column raises the answer ⇒ biggersmaller; column lowers it ⇒ smallerbiggerज़्यादा-कम: कॉलम उत्तर बढ़ाए ⇒ बड़ीछोटी; घटाए ⇒ छोटीबड़ी
a men or b women do a job ⇒ a men = b women (in working power)a आदमी या b औरतें एक काम करें ⇒ a आदमी = b औरतें (काम करने की ताकत में)

Compound variation

y ∝ xⁿ ⇒ y₂y₁ = (x₂x₁)ⁿ ; y ∝ 1xⁿ ⇒ y₂y₁ = (x₁x₂)ⁿ
y ∝ xz ⇒ y = kxz; find k from the given valuesy ∝ xz ⇒ y = kxz; k दिए गए मानों से निकालें
Value ∝ weight², pieces a : b : … ⇒ total value of pieces = a² + b² + …(a + b + …)² × originalमूल्य ∝ भार², टुकड़े a : b : … ⇒ टुकड़ों का कुल मूल्य = a² + b² + …(a + b + …)² × मूल मूल्य

Percentage form of inverse variation

Rise of 1n in one ⇒ fall of 1n + 1 in the other; fall of 1n ⇒ rise of 1n − 1एक में 1n वृद्धि ⇒ दूसरी में 1n + 1 कमी; 1n कमी ⇒ 1n − 1 वृद्धि
Price up r% ⇒ consumption down r100 + r × 100% (same expenditure)भाव r% बढ़े ⇒ खपत r100 + r × 100% घटे (खर्च वही)
Reduction r% gives q kg more for ₹M ⇒ new price = r% of Mq; original = new price1 − r/100r% कमी से ₹M में q kg ज़्यादा ⇒ नया भाव = M का r%q; मूल भाव = नया भाव1 − r/100
Speed up 1n ⇒ time down 1n + 1; saved time = 1n + 1 × usual timeचाल 1n बढ़े ⇒ समय 1n + 1 घटे; बचा समय = 1n + 1 × सामान्य समय

14. Partnership Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

Profit is always shared in the ratio of capital × time. Equal time cancels; equal capital cancels.लाभ (Profit) हमेशा पूँजी (Capital) × समय के अनुपात (Ratio) में बँटता है। बराबर समय कटता है; बराबर पूँजी भी कटती है।
A loss is divided in exactly the same ratio as a profit would have been.हानि (Loss) ठीक उसी अनुपात (Ratio) में बँटती है जिसमें लाभ (Profit) बँटता।
Cut zeros and common factors from capitals and times before multiplying.गुणा करने से पहले पूँजियों (Capitals) और समय में से शून्य और उभयनिष्ठ गुणनखंड (Common factors) काट दें।
Find 1 part from whatever is given (the total, one share or a difference), then answer in parts.जो दिया है (कुल, कोई एक हिस्सा या अंतर), उससे 1 भाग निकालें, फिर उत्तर भागों में निकालें।
aA = bB = cC gives A : B : C = bc : ac : ab (inverse ratio).aA = bB = cC से A : B : C = bc : ac : व्युत्क्रम अनुपात (Inverse ratio) (Ab) मिलता है।
Joins after x months ⇒ money works 12 − x months; leaves after x months ⇒ money works x months.x महीने बाद जुड़ा ⇒ पैसा 12 − x महीने लगा; x महीने बाद छोड़ा ⇒ पैसा x महीने लगा।
In a 2-year or 3-year business, subtract from 24 or 36 months, not from 12.2 या 3 साल के व्यापार में 24 या 36 महीने से घटाएँ, 12 से नहीं।
Changed capital: add the money-months of each period. If every change happens exactly at the halfway point, just add each partner's two capitals (an unchanged capital is counted twice).पूँजी (Capital) बदली: हर अवधि के पूँजी-महीने (Money-months) जोड़ें। अगर हर बदलाव ठीक बीच में हो, तो हर साझेदार की दोनों पूँजियाँ जोड़ दें (जो पूँजी नहीं बदली, उसे दो बार गिनें)।
Increase by 25% = × 54, by 50% = × 32; decrease by 10% = × 910; doubled = × 2; halved = × 12.25% बढ़ी = × 54, 50% बढ़ी = × 32; 10% घटी = × 910; दोगुनी = × 2; आधी = × 12।
Going backwards: Capital ∝ Profit ÷ Time and Time ∝ Profit ÷ Capital.उल्टा चलना: पूँजी (Capital) ∝ लाभ (Profit) ÷ समय और समय ∝ लाभ ÷ पूँजी।
Read what is asked: the months the money worked or the month of joining. The two add up to the full period.देखें क्या पूछा है: पैसा कितने महीने लगा या साझेदार किस महीने के बाद जुड़ा। दोनों का योग पूरी अवधि होता है।
Take out salary, commission, charity or rent first; divide only the rest; add the salary back for the working partner.वेतन (Salary), कमीशन (Commission), दान या किराया पहले निकालें; सिर्फ़ बाकी को बाँटें; सक्रिय साझेदार के लिए वेतन वापस जोड़ें।
Monthly salary × 12 for a year. A share after r% charity comes from only (100 − r)% of the profit.हर महीने का वेतन (Salary) × 12 = साल का वेतन। r% दान के बाद का हिस्सा लाभ (Profit) के सिर्फ़ (100 − r)% में से आता है।
Equal-rate interest on capital does not change the final shares when time is the same; they stay in the capital ratio.समय बराबर हो तो पूँजी (Capital) पर एक ही दर का ब्याज (Interest) अंतिम हिस्से नहीं बदलता; वे पूँजी के अनुपात (Ratio) में ही रहते हैं।
Read whether the amount given is the total profit or the profit left after the salary, commission or charity. If it is already the remaining profit, divide it directly.ध्यान से पढ़ें कि दी गई राशि कुल लाभ (Profit) है या वेतन, कमीशन या दान के बाद बचा लाभ। अगर बचा हुआ लाभ ही दिया है, तो उसे सीधे बाँट दें।
Dates: count the gaps between months. March to November is 8 months; a business that runs for 1.5 years has 18 months.महीनों के नाम दिए हों तो उनके बीच के अंतर गिनें। March से November = 8 महीने; 1.5 साल चलने वाले व्यापार में 18 महीने होते हैं।
Options with long decimals (like ₹16,470.59): find your fraction of the total, estimate it, and pick the nearest option without full division.लंबे दशमलव (Decimal) वाले विकल्प (जैसे ₹16,470.59): कुल का अपना भिन्न (Fraction) निकालें, उसका अंदाज़ा लगाएँ, और पूरा भाग किए बिना सबसे पास वाला विकल्प चुनें।
Two investments in a : b earning r₁% and r₂% ⇒ overall % = a r₁ + b r₂a + b; take a loss as negative.a : b में दो निवेश (Investments), प्रतिफल (Returns) r₁% और r₂% ⇒ कुल % = a r₁ + b r₂a + b; हानि (Loss) को ऋणात्मक लो।

The basic rule

Profit (or loss) ∝ Capital × Timeलाभ (Profit) या हानि (Loss) ∝ पूँजी (Capital) × समय
Same time ⇒ Profit ratio = Capital ratioसमय बराबर ⇒ लाभ (Profit) का अनुपात (Ratio) = पूँजी (Capital) का अनुपात
Same capital ⇒ Profit ratio = Time ratioपूँजी (Capital) बराबर ⇒ लाभ (Profit) का अनुपात (Ratio) = समय का अनुपात
Profit ratio = C₁T₁ : C₂T₂ : C₃T₃लाभ (Profit) का अनुपात (Ratio) = C₁T₁ : C₂T₂ : C₃T₃
Loss is shared in the same ratio as profitहानि (Loss) भी उसी अनुपात (Ratio) में बँटती है जिसमें लाभ (Profit) बँटता है

Dividing the profit

Share = own partstotal parts × Total profitहिस्सा = अपने भागकुल भाग × कुल लाभ (Profit)
Total = given shareits parts × total partsकुल = दिया गया हिस्साउसके भाग × कुल भाग
Difference of two shares = (difference of parts) × 1 partदो हिस्सों का अंतर = (भागों का अंतर) × 1 भाग
Percentage share = own partstotal parts × 100प्रतिशत (Percentage) हिस्सा = अपने भागकुल भाग × 100

Capital ratio from conditions

aA = bB = cC ⇒ A : B : C = 1a : 1b : 1c = bc : ac : ab
A : B = a : b, B : C = c : d ⇒ A : B : C = ac : bc : bd
Fractions of total: R = 1 − (P's fraction) − (Q's fraction)कुल के भिन्न (Fractions): R = 1 − (P का भिन्न) − (Q का भिन्न)
Investments in a : b earning r₁% and r₂% ⇒ overall % = a r₁ + b r₂a + ba : b में निवेश (Investments), प्रतिफल (Returns) r₁% और r₂% ⇒ कुल % = a r₁ + b r₂a + b

Joining, leaving and changing capital

Joins after x months (1 year) ⇒ time = 12 − xx महीने बाद जुड़ा (1 साल) ⇒ समय = 12 − x
Leaves / withdraws all after x months ⇒ time = xx महीने बाद छोड़ा / सब निकाला ⇒ समय = x
Business of n years ⇒ full period = 12n monthsn साल का व्यापार ⇒ पूरी अवधि = 12n महीने
Changed capital ⇒ effective capital = C₁t₁ + C₂t₂ + …पूँजी (Capital) बदली ⇒ प्रभावी पूँजी = C₁t₁ + C₂t₂ + …
Shortcut: C × (full months) ± (change) × (months after the change)Shortcut: C × (पूरे महीने) ± (बदलाव) × (बदलाव के बाद के महीने)

Finding capital or time

Capital ratio = P₁T₁ : P₂T₂ : …पूँजी (Capital) का अनुपात (Ratio) = P₁T₁ : P₂T₂ : …
Time ratio = P₁C₁ : P₂C₂ : …समय का अनुपात (Ratio) = P₁C₁ : P₂C₂ : …
C₁T₁C₂T₂ = P₁P₂ (put the unknown in and solve)C₁T₁C₂T₂ = P₁P₂ (अज्ञात राशि रखकर हल करें)

Working partner and deductions

Shared profit = Total − (salary + commission + charity + rent + …)बँटने वाला लाभ (Profit) = कुल − (वेतन + कमीशन + दान + किराया + …)
Working partner's total = salary/commission + share of the remaining profitसक्रिय साझेदार का कुल = वेतन (Salary) या कमीशन (Commission) + बचे लाभ (Profit) में हिस्सा
Monthly salary s ⇒ 12s for a yearहर महीने का वेतन (Salary) s ⇒ साल का 12s
r% kept aside ⇒ Total = share × total partsown parts × 100100 − rr% अलग रखा ⇒ कुल = हिस्सा × कुल भागअपने भाग × 100100 − r
Same-rate interest on capitals (same time) ⇒ final shares still in capital ratioपूँजियों (Capitals) पर एक ही दर का ब्याज (Interest) (समय बराबर) ⇒ अंतिम हिस्से फिर भी पूँजी के अनुपात (Ratio) में

15. Problems on Ages Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

Take the present age as the variable; 'ago' subtracts and 'hence' adds.वर्तमान आयु (Age) को चर (Variable) लो; 'पहले' में घटाएँ और 'बाद' में जोड़ें।
The difference of two ages never changes. Use it to link any two moments.दो आयु का अंतर (Difference) कभी नहीं बदलता। किन्हीं दो समयों को जोड़ने के लिए इसी का प्रयोग करें।
The sum of m ages changes by mn in n years, not by n.m लोगों की आयु का योग (Sum) n साल में mn बदलता है, n नहीं।
A multiple or ratio holds only at the moment stated. Write it with the ages of that moment.गुणज (Multiple) या अनुपात (Ratio) सिर्फ़ बताए गए समय पर सच है। उसे उसी समय की आयु से लिखें।
Ratio a : b means ax and bx. Sum gives x through (a + b), difference through (b − a).अनुपात (Ratio) a : b का मतलब ax और bx है। योग से x, (a + b) के ज़रिए और अंतर से (b − a) के ज़रिए निकलता है।
For two ratios at two moments, make their gaps equal; the jump in a term equals the years between the moments.दो समयों के दो अनुपातों (Ratio) में अंतर बराबर करें; किसी पद की छलाँग दोनों समयों के बीच के सालों के बराबर है।
From n years ago to m years hence is n + m years.n साल पहले से m साल बाद तक n + m साल होते हैं।
With three people, write everyone in terms of the one the others are compared with.तीन लोगों में, सबको उस व्यक्ति के रूप में लिखें जिससे बाकी सबकी तुलना हो रही है।
Average age: convert to totals; the same group's average rises by n in n years.औसत (Average) आयु: कुल में बदलें; उसी समूह का औसत n साल में n बढ़ता है।
Combined groups: counts are in the inverse ratio of distances from the combined average.मिले हुए समूह: संख्याएँ, संयुक्त औसत (Average) से दूरियों के उलटे अनुपात (Ratio) में होती हैं।
A parent's age at a child's birth is their age gap. Compare parents at one fixed moment.बच्चे के जन्म के समय माता/पिता की आयु ही उनका अंतर है। माता-पिता की तुलना एक तय समय पर करें।
Reversed digits: difference 9(a − b), sum 11(a + b).उलटे अंक: अंतर 9(a − b), योग 11(a + b)।
Always put your answer back into the story before marking it.विकल्प लगाने से पहले अपना उत्तर हमेशा कहानी में वापस रखकर जाँचें।

Time and the gap

Difference of two ages is constant at all timesदो आयु (Age) का अंतर (Difference) हर समय स्थिर रहता है
Sum of m people changes by mn in n yearsm लोगों का योग (Sum) n साल में mn बदलता है
Average of the same people changes by n in n yearsउन्हीं लोगों का औसत (Average) n साल में n बदलता है
Elder = S + D2 ; Younger = S − D2बड़ा = S + D2 ; छोटा = S − D2

Multiples and ratios

A = kB ⇒ B = Sumk + 1 = Differencek − 1A = kB ⇒ B = योगk + 1 = अंतरk − 1
n years ago A was k times B ⇒ A − n = k(B − n)n साल पहले A, B का k गुना था ⇒ A − n = k(B − n)
Ages a : b ⇒ ax, bx ; x = Suma + b = Differenceb − aआयु a : b ⇒ ax, bx ; x = योगa + b = अंतरb − a
ax + nbx + n = cd ⇒ x = n(c − d)ad − bc
Equal-difference method: make the gaps of both ratios equal; the jump in a term = years between the momentsबराबर अंतर वाला तरीका: दोनों अनुपातों (Ratios) के अंतर बराबर करें; किसी पद की छलाँग = दोनों समयों के बीच के साल
A : B = a : b, B : C = c : d ⇒ A : B : C = ac : bc : bd

Average age

Total age = average × numberकुल आयु = औसत (Average) × संख्या
Newcomer = new average + old count × (new average − old average)नया सदस्य = नया औसत (Average) + पुरानी संख्या × (नया औसत − पुराना औसत)
Combined average = n₁A₁ + n₂A₂n₁ + n₂संयुक्त औसत (Average) = n₁A₁ + n₂A₂n₁ + n₂
n₁n₂ = A₂ − AA − A₁

Birth, death and digits

Parent's age at child's birth = parent − childबच्चे के जन्म के समय माता/पिता की आयु = माता/पिता − बच्चा
Age in year Y = Y − year of birthवर्ष Y में आयु = Y − जन्म का वर्ष
(10a + b) − (10b + a) = 9(a − b) ; (10a + b) + (10b + a) = 11(a + b)

16. Mixture and Alligation Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

The value of a mixture is a weighted average. It always lies between the values mixed and leans towards the bigger quantity.मिश्रण (Mixture) का मान भारित औसत (Weighted average) होता है। वह हमेशा मिलाए गए मानों के बीच रहता है और बड़ी मात्रा की तरफ़ झुकता है।
Alligation cross: cheaper : dearer = (d − m) : (m − c). Each item gets the other's difference.एलीगेशन (Alligation) cross: सस्ता : महँगा = (d − m) : (m − c)। हर चीज़ को दूसरे वाला अंतर मिलता है।
Water is ₹0 and 0%; a pure substance is 100%.पानी ₹0 और 0% है; शुद्ध पदार्थ 100% है।
Profit questions: turn the selling price of the mixture into its cost price first, then alligate.लाभ (Profit) वाले प्रश्न: पहले मिश्रण (Mixture) के विक्रय मूल्य (Selling price) को क्रय मूल्य (Cost price) में बदलें, फिर एलीगेशन (Alligation) लगाएँ।
Milkman's profit% = water ÷ milk, not water ÷ mixture.दूधवाले का लाभ (Profit)% = पानी ÷ दूध, पानी ÷ मिश्रण (Mixture) नहीं।
When one thing is added, fix the other and equalise it in the old and new ratio.जब एक चीज़ मिलाई जाए, तो दूसरी को स्थिर रखें और उसे पुराने और नए अनुपात (Ratio) में बराबर करें।
Evaporation and drying remove only water; the salt or pulp stays the same.वाष्पीकरण (Evaporation) और सुखाने से सिर्फ़ पानी निकलता है; नमक या गूदा उतना ही रहता है।
Mixing mixtures: add component by component; for the mixing ratio alligate on the fraction of one component.मिश्रणों (Mixtures) को मिलाना: हर घटक (Component) अलग-अलग जोड़ें; मिलाने का अनुपात (Ratio) चाहिए तो एक घटक के भिन्न (Fraction) पर एलीगेशन लगाएँ।
When equal amounts of both components are added, the difference between them stays the same.दोनों घटकों (Components) की बराबर मात्रा मिलाई जाए, तो उनका अंतर वही रहता है।
Taking out mixture removes every component in the same fraction VM.मिश्रण (Mixture) निकालने से हर घटक उसी भिन्न (Fraction) VM में निकलता है।
Repeated replacement: x(1 − yx)ⁿ. "Repeated two more times" means n = 3.बार-बार प्रतिस्थापन (Replacement): x(1 − yx)ⁿ। "दो बार और दोहराया" का मतलब n = 3।
To find how much was replaced, track the component that is not poured in.कितना बदला गया, यह निकालने के लिए उस घटक को देखें जो डाला नहीं जा रहा।
Alloys are mixtures of metals; with equal weights, average the fractions.मिश्रधातुएँ (Alloys) धातुओं के मिश्रण (Mixture) हैं; भार बराबर हों तो भिन्नों (Fractions) का औसत (Average) लो।
Alligation on speeds gives the ratio of times; on profit% gives the ratio of cost prices.चाल (Speed) पर एलीगेशन समयों का अनुपात (Ratio) देता है; लाभ (Profit)% पर यह क्रय मूल्यों (Cost price) का अनुपात देता है।
Check options: the answer must fit the ratio total (multiples of 7 for 4 : 3, of 11 for 7 : 4).विकल्प जाँचें: उत्तर अनुपात (Ratio) के कुल भागों में बैठना चाहिए (4 : 3 के लिए 7 के गुणज (Multiples), 7 : 4 के लिए 11 के)।
Read the order of the ratio in the question (first : second, water : milk). The reversed ratio is often sitting among the options.प्रश्न में अनुपात (Ratio) का क्रम ध्यान से पढ़ें (पहला : दूसरा, पानी : दूध)। उल्टा अनुपात अक्सर विकल्पों में बैठा होता है।
Bring every price to one unit before averaging: '3 for ₹15' is ₹5 each, '₹250 per 5 kg' is ₹50 per kg.औसत (Average) लेने से पहले हर मूल्य (Price) को एक ही इकाई पर लाओ: '3 का ₹15' मतलब ₹5 प्रति वस्तु, '5 kg का ₹250' मतलब ₹50 प्रति kg।
Answer exactly what is asked: the part added, the whole mixture, the original quantity or one component. The other three are usually sitting in the options to catch you.वही उत्तर दो जो पूछा गया है: मिलाई गई मात्रा, पूरा मिश्रण (Mixture), शुरू की मात्रा या कोई एक घटक। बाकी तीन अक्सर आपको फँसाने के लिए विकल्पों में बैठे होते हैं।

Describing a mixture

A : B = a : b ⇒ A = aa + b of the mixture, B = ba + b of the mixtureA : B = a : b ⇒ A = मिश्रण (Mixture) का aa + b, B = मिश्रण का ba + b
Concentration of A = Atotal × 100%; removing some mixture keeps the ratio unchangedA की सांद्रता (Concentration) = Aकुल × 100%; मिश्रण (Mixture) का कुछ हिस्सा निकालने से अनुपात (Ratio) नहीं बदलता
If a part P is x% of the mixture: mixture = 100Pxअगर हिस्सा P मिश्रण (Mixture) का x% है: मिश्रण = 100Px

Mean value and alligation

Mean value = q₁v₁ + q₂v₂ + …q₁ + q₂ + … (always between the smallest and largest value)माध्य (Mean) मान = q₁v₁ + q₂v₂ + …q₁ + q₂ + … (हमेशा सबसे छोटे और सबसे बड़े मान के बीच)
Alligation: Cheaper : Dearer = (d − m) : (m − c)एलीगेशन (Alligation): सस्ता : महँगा = (d − m) : (m − c)
Water = ₹0 / 0%; pure substance = 100%पानी = ₹0 / 0%; शुद्ध पदार्थ = 100%
Unknown value = (total qty × mean) − sum of known valuesits qty; 1 : 1 : 2 ⇒ x = 4m − a − b2अज्ञात मान = (कुल मात्रा × माध्य) − ज्ञात मानों का योगउसकी मात्रा; 1 : 1 : 2 ⇒ x = 4m − a − b2
Balance: Σ qty × (mean − lower value) = Σ qty × (higher value − mean)संतुलन: Σ मात्रा × (माध्य − छोटा मान) = Σ मात्रा × (बड़ा मान − माध्य)

Profit with mixtures

Mean cost = SP × 100100 + profit% (or × 100100 − loss%); alligate on this cost, never on SPमाध्य लागत = SP × 100100 + लाभ% (या × 100100 − हानि%); एलीगेशन इसी लागत पर लगाएँ, SP पर कभी नहीं
Water added and sold at CP of milk: profit% = watermilk × 100पानी मिलाकर दूध के CP पर बेचा: लाभ (Profit)% = पानीदूध × 100
Profit fractions: 10% → CP = 1011 SP; 20% → 56; 25% → 45; 30% → 1013; 40% → 57लाभ (Profit) के भिन्न (Fraction): 10% → CP = 1011 SP; 20% → 56; 25% → 45; 30% → 1013; 40% → 57
Bundle prices first to per unit: 3 for ₹15 = ₹5 each; costs hidden in 'sold at x% loss' ⇒ CP = SP × 100100 − xपहले हर गुच्छे के मूल्य (Price) को प्रति इकाई में बदलें: 3 का ₹15 = ₹5 प्रति वस्तु; 'x% हानि (Loss) पर बिका' में छिपी लागत ⇒ CP = SP × 100100 − x

Adding, removing and mixing

Adding one component: the other component stays fixed, so equalise it in the old and new ratioएक घटक (Component) मिलाया: दूसरा घटक स्थिर रहता है, उसे पुराने और नए अनुपात (Ratio) में बराबर करें
Water added to strength s₁ → s₂: V₁s₁ = V₂s₂; evaporation works the same wayपानी मिलाकर सांद्रता s₁ से s₂: V₁s₁ = V₂s₂; वाष्पीकरण (Evaporation) में भी यही नियम
Dry from fresh: dry = fresh × 100 − water% (fresh)100 − water% (dry)ताज़े से सूखा: सूखा = ताज़ा × 100 − पानी% (ताज़ा)100 − पानी% (सूखा)
Equal amounts of both components added ⇒ their difference is unchangedदोनों घटकों (Components) की बराबर मात्रा मिलाई ⇒ उनका अंतर नहीं बदलता
Mixing mixtures: add each component; for a mixing ratio alligate on the fraction of one componentमिश्रणों (Mixtures) को मिलाना: हर घटक अलग-अलग जोड़ें; मिलाने का अनुपात (Ratio) चाहिए तो किसी एक घटक के भिन्न (Fraction) पर एलीगेशन लगाएँ

Replacement

V drawn from M ⇒ every component × (1 − VM), then add what is poured inM में से V निकाला ⇒ हर घटक × (1 − VM), फिर जो डाला उसे जोड़ें
Untouched component: f = 1 − new shareold shareजिस घटक को डाला नहीं गया: f = 1 − नया हिस्सापुराना हिस्सा
Repeated n times: left = x(1 − yx)ⁿ; strength = (1 − yx)ⁿ × initial strengthn बार: बचा = x(1 − yx)ⁿ; सांद्रता = (1 − yx)ⁿ × शुरू की सांद्रता
Different draws: x(1 − y₁x)(1 − y₂x)(1 − y₃x)हर बार अलग मात्रा निकाली: x(1 − y₁x)(1 − y₂x)(1 − y₃x)

Alloys and other uses of alligation

Equal weights of two alloys: new fraction of a metal = average of its two fractionsदो मिश्रधातुओं (Alloys) का बराबर भार: किसी धातु का नया भिन्न (Fraction) = उसके दोनों भिन्नों का औसत (Average)
Cost ratio of metals = weight ratio × price ratioधातुओं की लागत का अनुपात (Ratio) = भार का अनुपात × मूल्य (Price) का अनुपात
Averages → ratio of numbers; speeds → ratio of times; interest/profit rates → ratio of principals/cost pricesऔसत (Averages) → संख्याओं का अनुपात (Ratio); चाल (Speeds) → समयों का अनुपात; ब्याज (Interest) या लाभ (Profit) की दरें → मूलधनों (Principal) या क्रय मूल्यों (Cost price) का अनुपात

17. Average Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

Convert every average into a total first: Sum = Average × Number.हर औसत (Average) को पहले कुल में बदलें: योग = औसत × संख्या।
Never take a plain average of the averages of unequal groups. Use the weighted formula.असमान समूहों के औसतों (Averages) का सीधा औसत कभी मत लो। भारित औसत (Weighted average) का सूत्र (Formulae) लगाएँ।
Two groups: sizes are in the inverse ratio of their distances from the overall average, n₁n₂ = a₂ − AA − a₁.दो समूह: उनके आकार, कुल औसत (Average) से उनकी दूरियों के उल्टे अनुपात (Ratio) में होते हैं, n₁n₂ = a₂ − AA − a₁।
Every value + k ⇒ average + k; every value × k ⇒ average × k.हर मान (Value) + k ⇒ औसत (Average) + k; हर मान × k ⇒ औसत × k।
For an AP or any consecutive numbers, average = middle term = first + last2.AP या किसी भी क्रमागत संख्याओं में औसत (Average) = बीच वाला पद (Term) = पहला + आखिरी2।
Even count of consecutive numbers: the average is the mid-point of the two middle terms, not a term of the list.क्रमागत संख्याओं की गिनती सम हो, तो औसत (Average) बीच के दो पदों (Terms) का मध्य-बिंदु (Midpoint) होता है, सूची का कोई पद नहीं।
First n odd numbers average n; first n even numbers average n + 1.पहली n विषम संख्याओं (Odd numbers) का औसत (Average) n है; पहली n सम संख्याओं (Even numbers) का n + 1।
Joining: new member = A + (n + 1)t. Leaving: person left = A + (n − 1)t (t = fall in average).जुड़ना: नया सदस्य = A + (n + 1)t। निकलना: निकलने वाला = A + (n − 1)t (t = औसत (Average) में कमी)।
Replacement keeps the count the same: New = Old + n × change in average.प्रतिस्थापन (Replacement) में गिनती वही रहती है: नया = पुराना + n × औसत (Average) में बदलाव।
Wrong entry: change in average = correct − wrongn; digits reversed change the value by 9 × (difference of digits).गलत प्रविष्टि (Entry): औसत (Average) में बदलाव = सही − गलतn; अंक उलटने पर मान 9 × (अंकों का अंतर) बदलता है।
Overlapping groups: common number = first sum + last sum − total sum. Count positions first.साझा संख्या वाले समूह: साझा संख्या = पहला योग + आखिरी योग − कुल योग। पहले स्थान गिनें।
Three pair sums add up to twice the sum of the three numbers.तीनों जोड़ियों के योगों का जोड़, तीनों संख्याओं के योग का दोगुना होता है।
Ages: bring every statement to the present; n people in t years add n × t to the total.आयु: हर कथन को वर्तमान में लाओ; n लोग t सालों में कुल में n × t जोड़ते हैं।
Cricket: runs needed = old average + (total innings, including this one) × rise.क्रिकेट: ज़रूरी रन = पुराना औसत (Average) + (इस पारी को मिलाकर कुल पारियाँ) × बढ़त।
Average speed = total distance ÷ total time; for equal distances use 2xyx + y, never x + y2.औसत (Average) चाल (Speed) = कुल दूरी ÷ कुल समय; बराबर दूरियों के लिए 2xyx + y लगाएँ, x + y2 कभी नहीं।
A value equal to the average can be added or removed without changing the average.औसत (Average) के बराबर मान जोड़ने या हटाने से औसत नहीं बदलता।
A 30-day month starting on Sunday has 5 Sundays; a 31-day month has 5 of each of its first three weekdays.रविवार से शुरू होने वाले 30 दिन के महीने में 5 रविवार होते हैं; 31 दिन के महीने में शुरू के तीन वारों में से हर एक 5 बार आता है।

Basic results

Average = SumNumber ; Sum = Average × Numberऔसत (Average) = योगसंख्या ; योग = औसत × संख्या
Average lies between the smallest and the largest valueऔसत (Average) हमेशा सबसे छोटे और सबसे बड़े मान के बीच होता है
Sum of deviations from the average = 0औसत (Average) से विचलनों (Deviations) का योग = 0
Assumed average: Actual = Assumed + Sum of deviationsnकल्पित औसत (Assumed average): वास्तविक औसत = कल्पित मान + विचलनों का योगn
Each value ± k ⇒ average ± k ; each value × k ⇒ average × kहर मान (Value) ± k ⇒ औसत (Average) ± k ; हर मान × k ⇒ औसत × k
Change in average = Net change in totalnऔसत (Average) में बदलाव = कुल में शुद्ध बदलावn
Average of n numbers = 0 ⇒ at most (n − 1) negative (or positive)n संख्याओं का औसत (Average) 0 ⇒ ज़्यादा से ज़्यादा (n − 1) संख्याएँ ऋणात्मक (Negative) या धनात्मक (Positive)

Series

AP: Average = First + Last2 = middle termAP: औसत (Average) = पहला + आखिरी2 = बीच वाला पद (Term)
First n natural numbers: n + 12पहली n प्राकृतिक संख्याएँ: n + 12
First n odd numbers: n ; first n even numbers: n + 1पहली n विषम संख्याएँ (Odd numbers): n ; पहली n सम संख्याएँ (Even numbers): n + 1
First n multiples of k: k(n + 1)2k के पहले n गुणज (Multiple): k(n + 1)2
Squares 1² … n²: (n + 1)(2n + 1)6 ; cubes 1³ … n³: n(n + 1)²4वर्ग 1² … n²: (n + 1)(2n + 1)6 ; घन 1³ … n³: n(n + 1)²4
k terms, difference d: Smallest = Average − (k − 1)d2k पद (Terms), अंतर d: सबसे छोटा = औसत (Average) − (k − 1)d2
Sum of all primes up to 100 = 1060 (25 primes)100 तक की सभी अभाज्य (Prime) संख्याओं (Primes) का योग = 1060 (कुल 25 अभाज्य संख्याएँ (Prime numbers))

Groups and weighted average

Combined average = n₁a₁ + n₂a₂ + …n₁ + n₂ + …संयुक्त औसत (Combined average) = n₁a₁ + n₂a₂ + …n₁ + n₂ + …
Two groups: n₁n₂ = a₂ − AA − a₁दो समूह: n₁n₂ = a₂ − AA − a₁
Combined average = a₁ + n₂n₁ + n₂(a₂ − a₁)संयुक्त औसत (Combined average) = a₁ + n₂n₁ + n₂(a₂ − a₁)

Joining, leaving and replacement

One joins, average changes by ±t: New member = A ± (n + 1)tएक जुड़ा, औसत (Average) ±t बदला: नया सदस्य = A ± (n + 1)t
One leaves, average of rest falls by t: Left = A + (n − 1)t (rises: A − (n − 1)t)एक निकला, बाकी का औसत (Average) t घटा: निकला = A + (n − 1)t (बढ़ा: A − (n − 1)t)
m join, average rises by t: their average = A + (n + m)tmm जुड़े, औसत (Average) t बढ़ा: उनका औसत = A + (n + m)tm
Replacement: New = Old ± n × (change in average)प्रतिस्थापन (Replacement): नया = पुराना ± n × (औसत (Average) में बदलाव)
Replacement: n = New − Oldchange in averageप्रतिस्थापन (Replacement): n = नया − पुरानाऔसत में बदलाव

Wrong entries and overlapping sets

Correct average = Wrong average + Σ(Correct − Wrong)nसही औसत (Average) = गलत औसत + Σ(सही − गलत)n
n = Error in totalChange in averagen = कुल में गलतीऔसत में बदलाव
Digits of a 2-digit number reversed ⇒ change = 9 × (difference of digits)2 अंकों की संख्या के अंक उलटे ⇒ बदलाव = 9 × (अंकों का अंतर)
Overlap: Common = First sum + Last sum − Total sumएक संख्या साझा हो: साझा संख्या = पहला योग + आखिरी योग − कुल योग
Gap: Middle = Total sum − First sum − Last sumबीच में एक संख्या छूटे: बीच वाली संख्या = कुल योग − पहला योग − आखिरी योग

Related numbers

B = (A + B) + (B + C) − (A + B + C)
A + B + C = (A + B) + (B + C) + (C + A)2
Average of (a, b, c) − average of (b, c, d) = d' ⇒ a − d = 3d'(a, b, c) का औसत (Average) − (b, c, d) का औसत = d' ⇒ a − d = 3d'
Average of any two added to the third = p, q, r ⇒ a + b + c = p + q + r2किन्हीं दो का औसत (Average) तीसरी में जोड़ा = p, q, r ⇒ a + b + c = p + q + r2

Ages, cricket and speed

Same n people after t years: average + t, total + ntवही n लोग t साल बाद: औसत (Average) + t, कुल + nt
Runs needed to raise the average by t in the (n + 1)th innings = A + (n + 1)t(n + 1)वीं पारी में औसत (Average) t बढ़ाने के लिए ज़रूरी रन = A + (n + 1)t
Highest score = (Highest + Lowest) + (Highest − Lowest)2सबसे ज़्यादा स्कोर = (सबसे ज़्यादा + सबसे कम) + (सबसे ज़्यादा − सबसे कम)2
Required run rate = Target − Runs scoredOvers leftज़रूरी रन रेट (Run rate) = लक्ष्य − बने हुए रनबचे ओवर
Average speed = Total distanceTotal time ; equal distances: 2xyx + y ; equal times: x + y2औसत (Average) चाल (Speed) = कुल दूरीकुल समय ; बराबर दूरियाँ: 2xyx + y ; बराबर समय: x + y2
Equal spending at different prices: Average price = harmonic mean of the pricesअलग-अलग कीमतों पर बराबर खर्च: औसत (Average) मूल्य = कीमतों का हरात्मक माध्य (Harmonic mean)

18. Time and Work Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

First question in every sum: what is each worker's efficiency (units per day)?हर प्रश्न में पहला सवाल: हर व्यक्ति की कार्यक्षमता (Efficiency), यानी units प्रतिदिन, क्या है?
Take total work = LCM of the days; efficiencies become whole numbers and fractions never appear.कुल कार्य = दिनों का LCM लो; कार्यक्षमताएँ (Efficiencies) पूर्ण संख्याएँ (Whole numbers) बन जाती हैं और भिन्न (Fractions) आते ही नहीं।
Efficiencies add, days never add. Together time is always less than the fastest person's time.कार्यक्षमताएँ (Efficiencies) जुड़ती हैं, दिन कभी नहीं। मिलकर लगा समय हमेशा सबसे तेज़ व्यक्ति के समय से कम होता है।
Three pairs given? Add them and halve to get A + B + C, then subtract one pair.तीन जोड़ियाँ दी हैं? जोड़ें और आधा करें, A + B + C मिलेगा, फिर एक जोड़ी घटाएँ।
“A works in the same time as B and C together” means A = B + C in efficiency.“A उतने समय में करता है जितने में B और C मिलकर” का मतलब कार्यक्षमता (Efficiency) में A = B + C।
x% more efficient ⇒ efficiency (100 + x) : 100 ⇒ time 100 : (100 + x). Flip the ratio for time.x% अधिक कुशल ⇒ कार्यक्षमता (Efficiency) (100 + x) : 100 ⇒ समय 100 : (100 + x)। समय के लिए अनुपात (Ratio) उल्टा करें।
“n times as efficient, d days less”: time ratio 1 : n, difference = (n − 1) parts = d.“n गुना कुशल, d दिन कम”: समय अनुपात (Ratio) 1 : n, अंतर = (n − 1) भाग = d।
Leaving or joining: break the work into phases and add units; “more days” = last phase only.छोड़ना या जुड़ना: काम को चरणों (Phases) में तोड़ें और units जोड़ें; “और कितने दिन” = सिर्फ़ आख़िरी चरण।
“Left k days before completion”: count from the end, or let total time be T.“पूरा होने से k दिन पहले छोड़ा”: अंत से गिनें, या कुल समय T मान लें।
Alternate days: never just divide; complete full cycles, then finish the last day by hand.एकांतर दिन: सीधे भाग मत दो; पूरे चक्र (Cycles) लगाएँ, फिर आख़िरी दिन हाथ से पूरा करें।
Build and break: the job ends on the first building day when the level reaches full.बनाना-तोड़ना: काम उस पहले बनाने वाले दिन ख़त्म होता है जब दीवार पूरी हो जाए।
MDH: M × D × HW stays constant; food questions use people × days the same way.MDH: M × D × HW स्थिर रहता है; भोजन वाले प्रश्नों में लोग × दिन ऐसे ही लगता है।
Men, women and boys: convert everyone into one kind of worker before counting.पुरुष, महिलाएँ और लड़के: गिनने से पहले सबको एक तरह के मज़दूर में बदलें।
Wages follow work done (efficiency × days), never the number of days alone.मज़दूरी (Wages) किए गए काम (कार्यक्षमता × दिन) के हिसाब से बँटती है, सिर्फ़ दिनों के हिसाब से नहीं।
Two persons together: aba + b; one person from the pair's time: aTa − T. The missing person's time is always more than the group's time.दो लोग मिलकर: aba + b; जोड़ी के समय से एक व्यक्ति: aTa − T। बचे व्यक्ति का समय हमेशा समूह के समय से ज़्यादा होता है।
Read the last line twice: “more days” or “total days”, “work done” or “work left”. Both numbers are usually in the options.आख़िरी पंक्ति दो बार पढ़ें: “और कितने दिन” या “कुल दिन”, “हुआ काम” या “बचा काम”। दोनों संख्याएँ आम तौर पर विकल्पों में होती हैं।
Helper's wages: share = 1 − (fraction done by the others) of the total; the helper's own time is never needed.मदद करने वाले की मज़दूरी: हिस्सा = कुल राशि × (1 − बाकी लोगों के काम का भिन्न (Fraction)); उसका अपना समय कभी नहीं चाहिए।

Basics and the LCM method

Work = Efficiency × Time; one-day work of a person who takes n days = 1nकार्य = कार्यक्षमता (Efficiency) × समय; n दिन लेने वाले का एक दिन का काम = 1n
LCM method: Total work = LCM of the days; Efficiency = Total workdays; Time = Total workEfficiencyLCM विधि: कुल कार्य = दिनों का LCM; कार्यक्षमता = कुल कार्यदिन; समय = कुल कार्यकार्यक्षमता
mn of a work in D days ⇒ whole work in D × nm days; x% in D days ⇒ y% in D × yx daysकाम का mn भाग D दिनों में ⇒ पूरा काम D × nm दिनों में; x% D दिनों में ⇒ y% D × yx दिनों में

Working together

A (a days) + B (b days): together aba + b daysA (a दिन) + B (b दिन): मिलकर aba + b दिन
A, B, C: together abcab + bc + ca daysA, B, C: मिलकर abcab + bc + ca दिन
A + B take T days, A alone a days ⇒ B alone aTa − T daysA + B मिलकर T दिन, A अकेले a दिन ⇒ B अकेले aTa − T दिन
Pairs take x, y, z days ⇒ all three take 2xyzxy + yz + zx days; (A + B) + (B + C) + (C + A) = 2(A + B + C)जोड़ियाँ x, y, z दिन ⇒ तीनों 2xyzxy + yz + zx दिन; (A + B) + (B + C) + (C + A) = 2(A + B + C)
A alone takes x days more and B alone y days more than A + B together ⇒ together time = √xyA अकेले x दिन ज़्यादा और B अकेले y दिन ज़्यादा लेता है (A + B के मिलकर समय से) ⇒ मिलकर समय = √xy

Efficiency

Same work: Efficiency ∝ 1Time; E_A : E_B = T_B : T_Aसमान काम: कार्यक्षमता (Efficiency) ∝ 1समय; E_A : E_B = T_B : T_A
A is x% more efficient than B ⇒ T_A = T_B × 100100 + x; x% less ⇒ T_A = T_B × 100100 − xA, B से x% अधिक कुशल ⇒ T_A = T_B × 100100 + x; x% कम ⇒ T_A = T_B × 100100 − x
Efficiency ratio m : n and together T days ⇒ total work = (m + n)T; A alone = (m + n)Tmकार्यक्षमता (Efficiency) का अनुपात (Ratio) m : n और मिलकर T दिन ⇒ कुल कार्य = (m + n)T; A अकेले = (m + n)Tm
A is n times as efficient as B and takes d days less ⇒ A = dn − 1, B = ndn − 1 daysA, B से n गुना कुशल और d दिन कम लेता है ⇒ A = dn − 1, B = ndn − 1 दिन
Standard ratios: 25% more = 5 : 4, 20% less = 4 : 5, 3313% more = 4 : 3, 50% more = 3 : 2, 60% more = 8 : 5मानक अनुपात (Ratios): 25% अधिक = 5 : 4, 20% कम = 4 : 5, 3313% अधिक = 4 : 3, 50% अधिक = 3 : 2, 60% अधिक = 8 : 5

Phases, leaving and alternate days

Total work = Σ (team efficiency × days of that phase)कुल कार्य = Σ (टीम की कार्यक्षमता (Efficiency) × उस चरण के दिन)
A leaves k days before completion: (A + B)(T − k) + B·k = Total workA काम पूरा होने से k दिन पहले जाए: (A + B)(T − k) + B·k = कुल कार्य
With total time T: Σ efficiency × (days worked) = Total workकुल समय T हो तो: Σ कार्यक्षमता (Efficiency) × (काम के दिन) = कुल कार्य
Alternate days: full cycles first, then finish day by day; part-day = work neededthat day's efficiencyएकांतर दिन: पहले पूरे चक्र (Cycles), फिर दिन-ब-दिन; अधूरा दिन = जितना काम चाहिएउस दिन की कार्यक्षमता
Build (+a/day) and break (−b/day) alternately, a > b, total W: done on day 2 × W − aa − b + 1 (when W − aa − b is whole)बनाना (+a प्रतिदिन) और तोड़ना (−b प्रतिदिन) बारी-बारी, a > b, कुल W: काम दिन 2 × W − aa − b + 1 पर पूरा (जब W − aa − b पूर्ण संख्या (Whole number) हो)

MDH, workforce and different workers

M₁ D₁ H₁ E₁W₁ = M₂ D₂ H₂ E₂W₂
Food for x people for d days; after t days y leave ⇒ rest lasts x(d − t)x − y days (y join ⇒ x(d − t)x + y)x लोगों के लिए d दिन का भोजन; t दिन बाद y चले जाएँ ⇒ बचा x(d − t)x − y दिन (y जुड़ें ⇒ x(d − t)x + y)
Extra men to finish on time = Remaining man-daysRemaining days − present menसमय पर काम के लिए अतिरिक्त आदमी = बचे मानव-दिवसबचे दिन − मौजूद आदमी
n persons in D days; with p fewer persons it takes q days more ⇒ nD = (n − p)(D + q)n व्यक्ति D दिन; p व्यक्ति कम हों तो q दिन ज़्यादा ⇒ nD = (n − p)(D + q)
x men or y women in D days ⇒ 1 man = yx women; two groups with same work: D₁(group 1) = D₂(group 2)x पुरुष या y महिलाएँ D दिनों में ⇒ 1 पुरुष = yx महिलाएँ; एक ही काम वाले दो समूह: D₁(समूह 1) = D₂(समूह 2)

Wages

Wages ∝ work done = efficiency × days workedमज़दूरी ∝ किया गया काम = कार्यक्षमता (Efficiency) × काम के दिन
Working together throughout: wages ratio = 1T_A : 1T_B : 1T_Cशुरू से अंत तक साथ: मज़दूरी का अनुपात (Ratio) = 1T_A : 1T_B : 1T_C
A and B finish with C's help in n days ⇒ C's share = Total × [1 − n(1T_A + 1T_B)]A और B, C की मदद से n दिनों में ⇒ C का हिस्सा = कुल × [1 − n(1T_A + 1T_B)]

19. Pipe and Cistern Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

Pipe and Cistern = Time and Work in which outlets and leaks have negative efficiency.नल और टंकी = ऐसा समय और कार्य (Time and Work) जिसमें आउटलेट और रिसाव (Leak) की कार्यक्षमता (Efficiency) ऋणात्मक होती है।
Take capacity = LCM of the times and work in units; it removes all fractions.धारिता (Capacity) = समयों का LCM लो और units में काम करें; इससे सारी भिन्नें (Fractions) हट जाती हैं।
Add efficiencies, never times. xyx + y is for two pipes only.कार्यक्षमताएँ (Efficiencies) जोड़ें, समय कभी नहीं। xyx + y सिर्फ़ दो पाइपों के लिए है।
One inlet x and one outlet y: xyy − x to fill (inlet faster).एक इनलेट x और एक आउटलेट y: भरने का समय xyy − x (जब इनलेट तेज़ हो)।
Partly full tank: only the water present has to be emptied.थोड़ी भरी टंकी: सिर्फ़ मौजूद पानी ही खाली करना है।
Pairs given: half of the sum of the three pairs = all three together.जोड़ियाँ दी हों: तीनों जोड़ियों के जोड़ का आधा = तीनों साथ में।
n times as fast: efficiencies n : 1; slower pipe = (n + 1) × time together.n गुना तेज़: कार्यक्षमताएँ (Efficiencies) n : 1; धीमा पाइप = (n + 1) × साथ का समय।
Identical pipes: pipes × time = constant, like man-days.एक जैसे पाइप: पाइप × समय = अचर (Constant), मानव-दिवसों (Man-days) की तरह।
Leak: T normally, T + t with leak ⇒ leak alone T(T + t)t.रिसाव (Leak): आमतौर पर T, रिसाव के साथ T + t ⇒ अकेला रिसाव T(T + t)t।
Change after a known time: move forward phase by phase. Change "before full": the always-on pipe works for the whole time T.ज्ञात समय के बाद परिवर्तन हो, तो एक-एक अवधि करके हल करें। "भरने से पहले" परिवर्तन हो, तो हमेशा चलने वाला पाइप पूरे समय T कार्य करता है।
Alternate inlet–outlet: the tank fills during an inlet turn, so stop the cycles at (capacity − inlet's turn).इनलेट–आउटलेट बारी-बारी: टंकी इनलेट की बारी में भरती है, इसलिए चक्रों (Cycles) को (धारिता − इनलेट की बारी) पर रोको।
Litres: find the litre-pipe's units, match them with its litres, and get 1 unit = ? litres.लीटर: लीटर वाले पाइप की units निकालें, उन्हें उसके लीटर से मिलाएँ, और 1 unit = ? लीटर निकालें।
Read the last line: total time, time after the change, or clock time.आख़िरी पंक्ति पढ़ें: कुल समय, बदलाव के बाद का समय, या घड़ी का समय।
Pipes together take less time than the fastest inlet alone; with an outlet open, filling takes longer than with the inlets alone.पाइप मिलकर सबसे तेज़ इनलेट से भी कम समय लेते हैं; आउटलेट खुला हो, तो भरने में सिर्फ़ इनलेट वाले समय से ज़्यादा समय लगता है।
Fractional hour × 60 = minutes, fractional minute × 60 = seconds; give the answer in the unit asked.घंटे का भिन्न (Fraction) वाला हिस्सा × 60 = मिनट, मिनट का भिन्न वाला हिस्सा × 60 = सेकंड; उत्तर उसी इकाई में दो जो पूछी गई है।
Times given as relations (A takes 5 minutes more than B): put the options in instead of solving a quadratic.समय संबंध के रूप में दिए हों (A, B से 5 मिनट ज़्यादा लेता है): द्विघात समीकरण (Quadratic equation) हल करने की जगह विकल्प रखकर देखें।
In SSC, "n times faster" is used as "n times as fast": efficiencies n : 1.SSC में "n गुना तेज़" का मतलब "n गुना as fast" ही लिया जाता है: कार्यक्षमताएँ (Efficiencies) n : 1।

Basics

Inlet = positive efficiency; outlet / leak = negative efficiencyइनलेट = धनात्मक (Positive) कार्यक्षमता; आउटलेट / रिसाव = ऋणात्मक (Negative) कार्यक्षमता
Efficiency = 1time (part per hour); with capacity C units, efficiency = Ctimeकार्यक्षमता (Efficiency) = 1समय (प्रति घंटा हिस्सा); धारिता C units हो तो कार्यक्षमता = Cसमय
Capacity method: C = LCM of the times; time = Cnet efficiencyधारिता (Capacity) वाला तरीका: C = समयों का LCM; समय = Cशुद्ध कार्यक्षमता
One pipe: time for part f = f × T; full time = time for part ffएक पाइप: f हिस्से का समय = f × T; पूरा समय = f हिस्से का समयf

Pipes together

Two inlets: xyx + y; three or more: 1T = 1x + 1y + 1zदो इनलेट: xyx + y; तीन या ज़्यादा: 1T = 1x + 1y + 1z
Inlet x, outlet y (x < y): fills in xyy − x; outlet faster (y < x): full tank empties in xyx − yइनलेट x, आउटलेट y (x < y): xyy − x में भरेगी; आउटलेट तेज़ (y < x): भरी टंकी xyx − y में खाली
Pairs: A + B + C = (A + B) + (B + C) + (C + A)2; single pipe = (all three) − (other pair)जोड़ियाँ: A + B + C = (A + B) + (B + C) + (C + A)2; अकेला पाइप = (तीनों) − (बाकी जोड़ी)
Partly full tank: time to empty = water present|net|थोड़ी भरी टंकी: खाली होने का समय = मौजूद पानी|शुद्ध|

Efficiency ratio and identical pipes

A is n times as fast as B ⇒ efficiencies n : 1, times 1 : nA, B से n गुना तेज़ ⇒ कार्यक्षमताएँ n : 1, समय 1 : n
Together time t: slower = (n + 1)t, faster = n + 1ntसाथ का समय t: धीमा = (n + 1)t, तेज़ = n + 1nt
Identical pipes: P₁T₁ = P₂T₂; with tank size: P₁T₁C₁ = P₂T₂C₂एक जैसे पाइप: P₁T₁ = P₂T₂; टंकी का माप भी बदले तो: P₁T₁C₁ = P₂T₂C₂
Flow through a pipe ∝ (radius)²पाइप से बहाव ∝ (त्रिज्या (Radii))² (Radius)

Leak

Fills in T normally, in T + t with a leak ⇒ leak empties full tank in T(T + t)tआमतौर पर T, रिसाव के साथ T + t ⇒ रिसाव भरी टंकी को T(T + t)t में खाली करेगा
Leak's efficiency = (without leak) − (with leak)रिसाव की कार्यक्षमता = (रिसाव के बिना) − (रिसाव के साथ)

Pipes opened or closed at different times

Σ (net efficiency × time) over all phases = capacityसभी चरणों (Phases) का Σ (शुद्ध कार्यक्षमता × समय) = धारिता
A (x) and B (y) open, A closed after t: B's further time = y(1 − t(1x + 1y))A (x) और B (y) खुले, t के बाद A बंद: B का आगे का समय = y(1 − t(1x + 1y))
A (x) runs throughout, B (y) closed t before full ⇒ total time T = x(y + t)x + yA (x) पूरे समय, B (y) भरने से t पहले बंद ⇒ कुल समय T = x(y + t)x + y
Tank to fill in T with A (x) running throughout ⇒ B (y) runs y(1 − Tx)A (x) पूरे समय चले और टंकी T में भरे ⇒ B (y) चलेगा y(1 − Tx)

Alternate opening

One cycle = A + B units in 2 hours; take complete cycles, finish with the pipe whose turn is nextएक चक्र (Cycle) = 2 घंटे में A + B units; पूरे चक्र लो, फिर अगली बारी वाले पाइप से खत्म करें
Inlet (+a), outlet (−b) alternately: complete cycles up to (capacity − a), then the inlet finishesइनलेट (+a), आउटलेट (−b) बारी-बारी: (धारिता − a) तक पूरे चक्र, फिर इनलेट खत्म करता है

Capacity in litres

Waste pipe drains x litres/min and has k units ⇒ 1 unit = xk litres; capacity = C × xkनिकास पाइप x लीटर/मिनट निकाले और उसकी k units हों ⇒ 1 unit = xk लीटर; धारिता = C × xk
Buckets: n₁b₁ = n₂b₂बाल्टियाँ: n₁b₁ = n₂b₂

20. Time, Speed and Distance Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

Before any formula, make the units match: km/h with hours, m/s with seconds.कोई भी सूत्र (Formula) लगाने से पहले इकाइयाँ (Units) मिलाएँ: km/h के साथ घंटे, m/s के साथ seconds।
km/h → m/s: × 518; m/s → km/h: × 185. 18 km/h = 5 m/s.km/h → m/s: × 518; m/s → km/h: × 185। 18 km/h = 5 m/s।
Same distance: the time ratio is the speed ratio turned upside down. Work in parts, not equations.दूरी (Distance) समान हो तो समय का अनुपात (Ratio), चाल (Speed) के अनुपात का उल्टा होता है। समीकरण (Equation) नहीं, भागों से काम लो।
Speed becomes ab of usual ⇒ time becomes ba; the difference of parts is the late or early time.चाल (Speed) सामान्य चाल की ab हो जाए तो समय ba हो जाता है; भागों का अंतर ही देरी या जल्दी का समय है।
x% faster saves only x100 + x of the time.x% तेज़ चलने पर समय का केवल x100 + x भाग बचता है।
Late + early = total difference of times; D = S₁S₂S₂ − S₁ × difference.देर + जल्दी = समयों का कुल अंतर; D = S₁S₂S₂ − S₁ × अंतर।
Average speed is total distance ÷ total time. It is the plain average of the speeds only when the times are equal.औसत चाल (Average speed) = कुल दूरी ÷ कुल समय। चालों का सीधा औसत तभी सही है जब समय बराबर हों।
Equal distances: 2aba + b. Three equal parts: take the LCM of speeds as each distance.बराबर दूरियाँ (Distances): 2aba + b। तीन बराबर हिस्से हों तो चालों (Speeds) का LCM हर हिस्से की दूरी मान लें।
Rest, lunch and halts go into the total time with zero distance.आराम, खाना और पड़ाव बिना किसी दूरी (Distance) के कुल समय में जुड़ते हैं।
Towards each other: add speeds; same direction or chase: subtract.आमने-सामने: चालें (Speeds) जोड़ें; एक ही दिशा या पीछा: घटाएँ।
Late start: move the early one first, then divide the gap by the relative speed, and add to the clock carefully.देर से चलना: पहले वाले को पहले चलाएँ, फिर फ़ासले को सापेक्ष चाल (Relative speed) से भाग दो, और घड़ी में ध्यान से जोड़ें।
After crossing, times t₁, t₂ give speeds √t₂ : √t₁. The one who needs less time after meeting is the faster one.पार करने के बाद लगे समय t₁, t₂ हों तो चालें (Speeds) √t₂ : √t₁ होंगी। मिलने के बाद जिसे कम समय लगे, वही तेज़ है।
In a chase, distances are in the ratio of speeds and their difference is the gap.पीछा करने में दूरियाँ (Distances) चालों (Speeds) के अनुपात (Ratio) में होती हैं, और उनका अंतर ही शुरुआती फ़ासला है।
Races: beating by x m in L m gives speeds L : (L − x). In a chain the ratios multiply, so the margins do not just add (20 m and 10 m give 28 m).दौड़ (Race): L m में x m से हराए तो चालें (Speeds) L : (L − x)। श्रृंखला में अनुपात (Ratios) गुणा होते हैं, इसलिए अंतर सीधे नहीं जुड़ते (20 m और 10 m से 28 m)।
Circular: same direction C ÷ (a − b), opposite C ÷ (a + b); at the start point use the LCM of lap times.गोल रास्ता: एक ही दिशा में C ÷ (a − b), उल्टी दिशाओं में C ÷ (a + b); शुरुआती बिंदु (Point) के लिए चक्कर-समयों का LCM।
Never read minutes as decimals: 2 h 24 min = 225 h, not 2.24 h; 36 min = 35 h.मिनटों को दशमलव (Decimal) की तरह न पढ़ें: 2 घंटे 24 मिनट = 225 घंटे, 2.24 नहीं; 36 मिनट = 35 घंटा।
Stoppage per hour = difference of speedsspeed without stops × 60 min. Divide by the moving speed, not the slower one.प्रति घंटा ठहराव (Stoppage) = चालों का अंतरबिना रुके चाल × 60 मिनट। भाग चलने वाली चाल से दो, धीमी चाल से नहीं।
Beats by x m or t s ⇒ the loser runs x m in t s, so his speed = xt.x m या t s से हराए ⇒ हारने वाला t s में x m दौड़ता है, यानी उसकी चाल (Speed) = xt।
Circular track: distinct meeting points = |a − b| (same direction) or a + b (opposite) for speeds a : b in lowest terms.गोल रास्ता (Circular track): चालें (Speeds) a : b सबसे छोटे रूप में हों, तो अलग मिलन बिंदु (Point) एक ही दिशा में |a − b| और उल्टी दिशाओं में a + b होते हैं।
Buses at equal intervals: overtaken every a, met every b ⇒ T = 2aba + b and bus : you = (a + b) : (a − b).समान अंतराल पर बसें: हर a बाद पार करती हैं, हर b बाद मिलती हैं ⇒ T = 2aba + b और बस : व्यक्ति = (a + b) : (a − b)।
In a chase by steps, convert both runners to one unit of length and one unit of time first.कदमों में पीछा हो तो पहले दोनों को लंबाई की एक इकाई और समय की एक इकाई में लाएँ।

Basics and units

D = S × T; S = DT; T = DS
1 km/h = 518 m/s; 1 m/s = 185 km/h; 18 km/h = 5 m/s
Metres per minute × 350 = km/hप्रति मिनट metres × 350 = km/h
Minutes as hours: 12 = 15, 15 = 14, 20 = 13, 24 = 25, 36 = 35, 40 = 23, 45 = 34मिनट को घंटों में: 12 = 15, 15 = 14, 20 = 13, 24 = 25, 36 = 35, 40 = 23, 45 = 34

Ratios and speed change

Same distance: S₁T₁ = S₂T₂; speeds a : b ⇒ times b : aदूरी (Distance) समान: S₁T₁ = S₂T₂; चालें a : b ⇒ समय b : a
Same time: distances in the ratio of speedsसमय समान: दूरियाँ (Distances) चालों (Speeds) के अनुपात (Ratio) में
Times a : b : c (same distance) ⇒ speeds 1a : 1b : 1cसमय a : b : c (दूरी समान) ⇒ चालें (Speeds) 1a : 1b : 1c
New speed ab of usual ⇒ new time ba of usual; late by b − aa of usual timeनई चाल (Speed) सामान्य चाल की ab ⇒ नया समय सामान्य का ba; देरी = सामान्य समय का b − aa
Speed up x% ⇒ time saved x100 + x; speed down x% ⇒ extra time x100 − xचाल (Speed) x% बढ़े ⇒ बचा समय x100 + x; x% घटे ⇒ अतिरिक्त समय x100 − x
Stoppage per hour = S_without − S_withS_without × 60 minप्रति घंटा ठहराव (Stoppage) = S_without − S_withS_without × 60 मिनट
Stops “after every d km” on a D km journey: count only the complete d-km marks before the end (no stop at the finish)D km की यात्रा में “हर d km के बाद” वाले पड़ाव: अंत से पहले आने वाले पूरे d km के निशान ही गिनें (अंतिम बिंदु (Point) पर पड़ाव नहीं)

Late, early and speed-change equations

D = S₁S₂S₂ − S₁ × (difference of times)D = S₁S₂S₂ − S₁ × (समयों का अंतर)
Late t₁ and early t₂ ⇒ difference = t₁ + t₂t₁ देर और t₂ जल्दी ⇒ अंतर = t₁ + t₂
Ds − Ds + x = t ⇒ s(s + x) = Dxt

Average speed and round trips

Average speed = Total distanceTotal time (rest time included)औसत चाल (Average speed) = कुल दूरीकुल समय (आराम का समय भी शामिल)
Equal times: a + b2; equal distances: 2aba + b; three equal distances: 3abcab + bc + caबराबर समय: a + b2; बराबर दूरियाँ (Distances): 2aba + b; तीन बराबर दूरियाँ: 3abcab + bc + ca
Fractions f_i of distance: average = 1Σ f_is_i; fractions f_i of time: average = Σ f_is_iदूरी (Distance) के भिन्न (Fractions) f_i: औसत (Average) = 1Σ f_is_i; समय के भिन्न f_i: औसत = Σ f_is_i
Go at a, return at b, total time T ⇒ one-way D = T × aba + ba से जाना, b से लौटना, कुल समय T ⇒ एक तरफ़ D = T × aba + b
Walk both ways W, ride both ways R ⇒ walk + ride = W + R2दोनों तरफ़ पैदल W, दोनों तरफ़ सवारी R ⇒ पैदल + सवारी = W + R2

Relative speed: meeting and chasing

Towards / apart: a + b; same direction: a − bआमने-सामने / दूर जाना: a + b; एक ही दिशा: a − b
The meeting point divides the road in the ratio of speeds (when both start together)मिलने का बिंदु (Point) सड़क को चालों (Speeds) के अनुपात (Ratio) में बाँटता है (जब दोनों एक साथ चलें)
One travels x km more at meeting ⇒ total = a + ba − b × xमिलने पर एक ने x km ज़्यादा ⇒ कुल = a + ba − b × x
Journey times T_A, T_B from opposite ends ⇒ meet after T_AT_BT_A + T_Bउल्टे सिरों से यात्रा के समय T_A, T_B ⇒ T_AT_BT_A + T_B बाद मिलते हैं
After meeting, times t₁, t₂ ⇒ S₁S₂ = √t₂t₁; meeting time = √t₁t₂ (simultaneous start)मिलने के बाद लगे समय t₁, t₂ ⇒ S₁S₂ = √t₂t₁; मिलने का समय = √t₁t₂ (एक साथ चलें तो)
Chase: time = gapp − t; thief runs gap × tp − tपीछा: समय = फ़ासलाp − t; चोर की दूरी = फ़ासला × tp − t
At right angles: distance after time t = t√(a² + b²)समकोण (Right angle) पर: समय t बाद दूरी (Distance) = t√(a² + b²)
Late start: head start = (speed of the early one) × (delay); then time = remaining gaprelative speedदेर से चलना: पहले वाले की बढ़त = (पहले वाले की चाल (Speed)) × (देरी); फिर समय = बचा फ़ासलासापेक्ष चाल
Both from A, faster turns back from B ⇒ they meet after 2Da + bदोनों A से, तेज़ वाला B से लौटे ⇒ 2Da + b बाद मिलते हैं

Races and circular tracks

A beats B by x m in L m ⇒ S_A : S_B = L : (L − x)L m में A, B को x m से हराए ⇒ S_A : S_B = L : (L − x)
Beats by x m or t s ⇒ S_B = xtx m या t s से हराए ⇒ S_B = xt
Chain of margins a%, b% ⇒ A beats C by (a + b − ab100)%अंतर a% और b% की श्रृंखला (Chain) ⇒ A, C को (a + b − ab100)% से हराता है
Circular first meeting: same direction Ca − b; opposite Ca + bगोल रास्ते पर पहली मुलाकात: एक ही दिशा में Ca − b; उल्टी दिशाओं में Ca + b
At the starting point: LCM of lap timesशुरुआती बिंदु (Point) पर मुलाकात: चक्कर-समयों का LCM
Distinct meeting points (a : b lowest): same direction |a − b|, opposite a + bअलग मिलन बिंदु (a : b सबसे छोटे रूप में): एक ही दिशा में |a − b|, उल्टी दिशाओं में a + b
Three runners from one point: all meet (anywhere) at the LCM of the pairwise meeting intervalsएक ही बिंदु (Point) से तीन धावक: सब (कहीं भी) हर जोड़े के मिलने के अंतरालों के LCM पर मिलते हैं
Buses at interval T, speed v; walker u: overtaken every vTv − u, met every vTv + u; T = 2aba + b; v : u = (a + b) : (a − b)बसें अंतराल T और चाल v से; पैदल यात्री की चाल u: पीछे से पार करने का अंतराल vTv − u, सामने से मिलने का vTv + u; T = 2aba + b; v : u = (a + b) : (a − b)
Vehicles met on the road (journey x, departures every h at both ends, terminals excluded) = 2xh − 1सड़क पर मिलने वाली गाड़ियाँ (यात्रा x, दोनों सिरों से हर h बाद, टर्मिनल छोड़कर) = 2xh − 1
Chase in steps: speed = steps per unit time × step length; time to catch = head start ÷ difference of speedsकदमों में पीछा: चाल = प्रति इकाई समय कदम × कदम की लंबाई; पकड़ने का समय = बढ़त ÷ चालों का अंतर

21. Problems on Trains Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

A train has length: while crossing anything it also covers its own length.ट्रेन की लंबाई (Length) होती है: कुछ भी पार करते समय वह अपनी लंबाई भी तय करती है।
Pole, tree, signal, standing or walking man = point (length 0). Platform, bridge, tunnel, train, tractor = long object.खंभा, पेड़, सिग्नल, खड़ा या चलता आदमी = बिंदु (Point), लंबाई (Length) 0। प्लेटफ़ॉर्म, पुल, सुरंग, ट्रेन, ट्रैक्टर = लंबी वस्तु।
km/h × 518 = m/s; m/s × 3.6 = km/h. Keep the chart pairs ready (54 ↔ 15, 72 ↔ 20, 90 ↔ 25).km/h × 518 = m/s; m/s × 3.6 = km/h। सारणी की जोड़ियाँ याद रखें (54 ↔ 15, 72 ↔ 20, 90 ↔ 25)।
Add or subtract speeds in km/h first, then convert once.पहले km/h में चालें (Speeds) जोड़ें या घटाएँ, फिर एक बार बदलें।
Length questions: find the total S × t first, then subtract the given length.लंबाई (Length) वाले प्रश्न: पहले कुल S × t निकालें, फिर दी हुई लंबाई घटाएँ।
Same train, two crossings: the extra time is for the extra length, so speed = Pt₂ − t₁.एक ही ट्रेन, दो बार पार करना: अतिरिक्त समय, अतिरिक्त लंबाई (Length) के लिए है, इसलिए चाल (Speed) = Pt₂ − t₁।
Constant speed ⇒ distance ratio = time ratio; time ∝ (L + P), not P.चाल (Speed) स्थिर ⇒ दूरी (Distance) का अनुपात (Ratio) = समय का अनुपात; समय ∝ (L + P), सिर्फ़ P नहीं।
Pole t₁, platform t₂: L : (L + P) = t₁ : t₂. For this ratio you need neither the speed nor P.खंभा t₁, प्लेटफ़ॉर्म t₂: L : (L + P) = t₁ : t₂। इस अनुपात (Ratio) के लिए न चाल (Speed) चाहिए, न P।
Two trains: lengths always add. Opposite ⇒ speeds add; same direction ⇒ speeds subtract.दो ट्रेनें: लंबाइयाँ (Lengths) हमेशा जुड़ती हैं। विपरीत दिशा ⇒ चालें (Speeds) जुड़ती हैं; एक ही दिशा ⇒ चालें घटती हैं।
Equal speeds in opposite directions: relative = 2v, so halve at the end.विपरीत दिशा में बराबर चालें (Speeds): सापेक्ष चाल (Relative speed) = 2v, तो आख़िर में आधा करें।
Moving man: distance = L only, speed = S + u (towards) or S − u (same way).चलता आदमी: दूरी (Distance) = सिर्फ़ L, चाल (Speed) = S + u (आदमी ट्रेन की ओर) या S − u (उसी दिशा में)।
Equal lengths and equal speeds, opposite directions: each train covers its own length in the crossing time, so v = Lt.बराबर लंबाइयाँ (Lengths) और बराबर चालें (Speeds), विपरीत दिशा: पार करने के समय में हर ट्रेन अपनी ही लंबाई जितना चलती है, तो v = Lt।
A man sitting in a train is a point: only the other train's length counts.ट्रेन में बैठा आदमी एक बिंदु (Point) है: सिर्फ़ दूसरी ट्रेन की लंबाई (Length) गिनी जाती है।
Late start: move the early train first, then use gap ÷ (a + b) from the later start.देर से चलना: पहले जल्दी चली ट्रेन को चलाएँ, फिर बाद वाली ट्रेन के चलने से फ़ासला ÷ (a + b) लो।
Decimal hours to clock: 0.7 h = 42 min, 0.4 h = 24 min — never read 1.7 h as 1 h 70 min.दशमलव (Decimal) घंटे से घड़ी: 0.7 h = 42 min, 0.4 h = 24 min — 1.7 h को कभी 1 h 70 min मत पढ़ना।
Percent faster ⇒ ratio first: 25% faster = 5 : 4, 50% faster = 3 : 2. Then work in parts.प्रतिशत तेज़ ⇒ पहले अनुपात (Ratio): 25% तेज़ = 5 : 4, 50% तेज़ = 3 : 2। फिर भागों में काम करें।
Answer in minutes? Find the seconds first and divide by 60 at the end. Always read the unit in the bracket.उत्तर मिनट में चाहिए? पहले सेकंड निकालें और आख़िर में 60 से भाग दो। कोष्ठक में लिखी इकाई हमेशा पढ़ें।
Train and boat: boat's ground speed first (b + s or b − s), then same direction subtract, opposite direction add.ट्रेन और नाव: पहले नाव की ज़मीनी चाल (b + s या b − s), फिर एक ही दिशा में घटाएँ और विपरीत दिशा में जोड़ें।

Units and the basic relation

D = S × T; 1 km/h = 518 m/s; 1 m/s = 185 km/h = 3.6 km/h
18 ↔ 5, 36 ↔ 10, 45 ↔ 12.5, 54 ↔ 15, 72 ↔ 20, 90 ↔ 25, 108 ↔ 30, 126 ↔ 35, 144 ↔ 40, 180 ↔ 50 (km/h ↔ m/s)
Master formula: time to cross = total length to be coveredrelative speedमुख्य सूत्र (Formula): पार करने का समय = कुल तय की जाने वाली लंबाईसापेक्ष चाल

One train crossing a stationary object

Pole / tree / standing man: L = S × tखंभा / पेड़ / खड़ा आदमी: L = S × t
Platform / bridge / tunnel of length P: L + P = S × tP लंबाई (Length) का प्लेटफ़ॉर्म / पुल / सुरंग: L + P = S × t
Passenger (point) inside the train through a tunnel P: t = PSट्रेन के अंदर बैठा यात्री (बिंदु (Point)), सुरंग P: t = PS

Same train, two situations

Pole t₁, platform P in t₂: S = Pt₂ − t₁, L = P t₁t₂ − t₁खंभा t₁ में, प्लेटफ़ॉर्म P, t₂ में: S = Pt₂ − t₁, L = P t₁t₂ − t₁
Two platforms: S = P₂ − P₁t₂ − t₁; LL + P = t₁t₂दो प्लेटफ़ॉर्म: S = P₂ − P₁t₂ − t₁; LL + P = t₁t₂
New crossing time: t_new = t × L + P_newL + Pनया समय: t_नया = t × L + P_नयाL + P

Two trains

Opposite directions: t = L₁ + L₂S₁ + S₂विपरीत दिशा: t = L₁ + L₂S₁ + S₂
Same direction: t = L₁ + L₂S₁ − S₂एक ही दिशा: t = L₁ + L₂S₁ − S₂
Equal speeds v, opposite: 2v = L₁ + L₂tबराबर चालें (Speeds) v, विपरीत दिशा: 2v = L₁ + L₂t
Man sitting in train 1: t = L₂S₁ ± S₂ट्रेन 1 में बैठा आदमी: t = L₂S₁ ± S₂
Equal lengths, pole times t₁ < t₂: same direction 2t₁t₂t₂ − t₁; opposite 2t₁t₂t₁ + t₂बराबर लंबाइयाँ (Lengths), खंभा पार करने के समय t₁ < t₂: एक ही दिशा 2t₁t₂t₂ − t₁; विपरीत दिशा 2t₁t₂t₁ + t₂

Train and a moving man or vehicle

Man towards the train: t = LS + u; same direction: t = LS − uआदमी ट्रेन की ओर: t = LS + u; उसी दिशा में: t = LS − u
Vehicle of length l: t = L + lS ± ul लंबाई (Length) की गाड़ी: t = L + lS ± u
Two men in t₁, t₂: (S − u₁)t₁ = (S − u₂)t₂ = Lदो आदमी t₁, t₂ में: (S − u₁)t₁ = (S − u₂)t₂ = L
Train and a boat on a river: first find the boat's ground speed (b + s downstream, b − s upstream), then use S ± v as for any moving objectनदी में नाव और ट्रेन: पहले नाव की ज़मीनी चाल निकालें (धारा के अनुकूल (Downstream) b + s, प्रतिकूल b − s), फिर किसी भी चलती वस्तु की तरह S ± v लगाएँ

Journeys and meeting (train as a point)

Average speed = total distancetotal time; equal distances 2aba + b, 3abcab + bc + caऔसत चाल (Average speed) = कुल दूरीकुल समय; बराबर दूरियाँ 2aba + b, 3abcab + bc + ca
Late at S₁, early at S₂: D = S₁S₂S₂ − S₁ × (late + early)S₁ पर देर, S₂ पर जल्दी: D = S₁S₂S₂ − S₁ × (देरी + जल्दी)
Meet: Da + b (towards), Da − b (same way); late start: subtract the head start firstमिलना: Da + b (आमने-सामने), Da − b (एक ही दिशा); देर से चलना: पहले, जल्दी चली ट्रेन की बढ़त घटाएँ
S_AS_B = √t₂t₁ (A takes t₁, B takes t₂ after meeting); D = a + ba − b × d (one runs d more)S_AS_B = √t₂t₁ (मिलने के बाद A को t₁, B को t₂); D = a + ba − b × d (एक d ज़्यादा चले)

22. Boat and Stream Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

Downstream = b + s, upstream = b − s. Write these two lines first in every question.धारा के अनुकूल (Downstream) = b + s, धारा के प्रतिकूल (Upstream) = b − s। हर प्रश्न में सबसे पहले ये दो पंक्तियाँ लिखें।
Boat speed = average of D and U; stream speed = half of their difference.नाव की चाल (Speed) = D और U का औसत (Average); धारा की चाल = उनके अंतर का आधा।
Convert every journey to a speed before averaging; never average distances or times.औसत (Average) लेने से पहले हर यात्रा को चाल (Speed) में बदलें; दूरियों (Distances) या समयों का औसत कभी मत लो।
Same distance: the time ratio flipped is the speed ratio, t_up : t_down = D : U.समान दूरी (Distance): समयों का अनुपात (Ratio) उल्टा करें तो चालों (Speeds) का अनुपात मिलता है, t_up : t_down = D : U।
b : s = (D + U) : (D − U); twice as long up ⇒ s = b3; thrice ⇒ s = b2; four times ⇒ s = 3b5.b : s = (D + U) : (D − U); धारा के प्रतिकूल (Upstream) में दोगुना समय ⇒ s = b3; तीन गुना ⇒ s = b2; चार गुना ⇒ s = 3b5।
Round trip: add the two times; difference questions: subtract them.आना-जाना (Round trip): दोनों समय जोड़ें; अंतर वाले प्रश्न: दोनों समय घटाएँ।
Sum formula has 2b below, difference formula has 2s below: d = T(b² − s²)2b, d = Δt(b² − s²)2s.योग वाले सूत्र (Formula) में नीचे 2b, अंतर वाले में नीचे 2s: d = T(b² − s²)2b, d = Δt(b² − s²)2s।
Round-trip average speed is 2DUD + U, always less than b.आने-जाने की औसत (Average) चाल (Speed) 2DUD + U है, जो हमेशा b से कम होती है।
"Total distance of 70 km" in a round trip means 35 km each way.आने-जाने (Round trip) में "कुल 70 km" का अर्थ है एक तरफ़ 35 km।
Two journeys: use x = 1U, y = 1D and eliminate.दो यात्राएँ: x = 1U, y = 1D लो और एक अज्ञात हटाएँ।
Two boats on the same river: ignore the stream for their relative speed.एक ही नदी की दो नावें: उनकी सापेक्ष चाल (Relative speed) में धारा को छोड़ दें।
When s is unknown and the equation is quadratic, test the options; only one gives the stated time.जब s पता न हो और समीकरण (Equation) द्विघात बने, तो विकल्प जाँचें; सिर्फ़ एक ही विकल्प दिया हुआ समय देगा।
Always convert minutes to hours (54 min = 0.9 h) and m/s to km/h before dividing.भाग देने से पहले हमेशा मिनटों को घंटों में (54 मिनट = 0.9 घंटे) और m/s को km/h में बदलें।
b must be more than s. Any option with s ≥ b, or a negative upstream speed, is wrong at once.b हमेशा s से ज़्यादा होगी। जिस विकल्प में s ≥ b हो या धारा के प्रतिकूल (Upstream) चाल (Speed) ऋणात्मक आए, वह सीधे गलत है।
"b is k km/h more than s" means U = k; "sum of the speeds of boat and stream" means D. Read such phrases as speeds directly."b, s से k km/h ज़्यादा है" का मतलब U = k; "नाव और धारा की चालों का योग" का मतलब D। ऐसे वाक्यांशों को सीधे चाल (Speed) की तरह पढ़ें।
Check the last line: one-way distance or total distance, extra time or full time, b : s or D : s. Each of these is a ready trap option.आख़िरी पंक्ति ज़रूर पढ़ें: एक तरफ़ की दूरी (Distance) या कुल दूरी, अतिरिक्त समय या पूरा समय, b : s या D : s। इनमें से हर एक गलत विकल्प बनकर बैठा होता है।
A plane in wind is a boat in a stream: a + w with the wind, a − w against it.हवा में हवाई जहाज़ वही है जो धारा में नाव: हवा के साथ a + w, हवा के विरुद्ध a − w।
A floating object dropped from a boat: the boat returns in the same time it went away; the object floats 2t.नाव से गिरी तैरती वस्तु: नाव जितने समय दूर गई उतने ही समय में लौटती है; वस्तु 2t समय बहती है।

Basic speeds

b = speed of boat in still water, s = speed of streamb = शांत जल (Still water) में नाव की चाल (Speed), s = धारा की चाल
Downstream speed D = b + s; upstream speed U = b − s (b > s)धारा के अनुकूल (Downstream) चाल D = b + s; धारा के प्रतिकूल (Upstream) चाल U = b − s (b > s)
A floating object moves at the stream speed sतैरती हुई चीज़ धारा की चाल (Speed) s से चलती है
Two boats on the same river: the stream cancels in their relative speedएक ही नदी की दो नावें: उनकी सापेक्ष चाल (Relative speed) में धारा कट जाती है
km/h × 518 = m/s; m/s × 185 = km/h

Boat and stream from D and U

b = D + U2, s = D − U2
D + U = 2b, D − U = 2s; D = U + 2s
If d₁ km downstream in t₁ h and d₂ km upstream in t₂ h: b = 12(d₁t₁ + d₂t₂), s = 12(d₁t₁ − d₂t₂)अगर धारा के अनुकूल (Downstream) d₁ km, t₁ घंटे में और धारा के प्रतिकूल (Upstream) d₂ km, t₂ घंटे में: b = 12(d₁t₁ + d₂t₂), s = 12(d₁t₁ − d₂t₂)

Ratio method (same distance)

t_up : t_down = D : U
b : s = (D + U) : (D − U) = (t_up + t_down) : (t_up − t_down)
Upstream takes k times as long ⇒ b : s = (k + 1) : (k − 1); k = 2 ⇒ 3 : 1, k = 3 ⇒ 2 : 1, k = 4 ⇒ 5 : 3धारा के प्रतिकूल (Upstream) में k गुना समय ⇒ b : s = (k + 1) : (k − 1); k = 2 ⇒ 3 : 1, k = 3 ⇒ 2 : 1, k = 4 ⇒ 5 : 3
d₁ down and d₂ up in equal times ⇒ b : s = (d₁ + d₂) : (d₁ − d₂)बराबर समय में d₁ धारा के अनुकूल (Downstream) और d₂ धारा के प्रतिकूल (Upstream) ⇒ b : s = (d₁ + d₂) : (d₁ − d₂)
b : s given ⇒ return time = t_down × b + sb − sb : s दिया हो ⇒ वापसी का समय = t_down × b + sb − s

Round trip and time difference

Round trip time T = db + s + db − s = 2bdb² − s²आने-जाने (Round trip) का समय T = db + s + db − s = 2bdb² − s²
One-way distance from total time: d = T(b² − s²)2bकुल समय से एक तरफ़ की दूरी (Distance): d = T(b² − s²)2b
Stream from round trip: s² = b² − 2bdTआने-जाने से धारा की चाल: s² = b² − 2bdT
Average speed of round trip = 2DUD + U = b² − s²b (less than b)आने-जाने की औसत (Average) चाल (Speed) = 2DUD + U = b² − s²b (b से कम)
Time difference: t_up − t_down = 2sdb² − s² ⇒ d = Δt(b² − s²)2sसमय का अंतर: t_up − t_down = 2sdb² − s² ⇒ d = Δt(b² − s²)2s

Two journeys

Put x = 1U, y = 1D; each trip gives a linear equation (up distance)x + (down distance)y = timex = 1U, y = 1D रखें; हर यात्रा से एक रैखिक समीकरण (Linear equation) बनता है: (धारा के प्रतिकूल (Upstream) दूरी)x + (धारा के अनुकूल (Downstream) दूरी)y = समय
Mirror trips: add for x + y, subtract for x − yउल्टी यात्राएँ: x + y के लिए जोड़ें, x − y के लिए घटाएँ
b − s given ⇒ that is U; b + s given ⇒ that is Db − s दिया हो ⇒ वही U है; b + s दिया हो ⇒ वही D है

Wind and walkway

Aeroplane: a + w with the wind, a − w against it; a = (a + w) + (a − w)2, w = (a + w) − (a − w)2हवाई जहाज़: हवा के साथ a + w, हवा के विरुद्ध a − w; a = (a + w) + (a − w)2, w = (a + w) − (a − w)2
Walkway: v + m in the same direction, v − m in the opposite directionचलता रास्ता: एक ही दिशा में v + m, विपरीत दिशा में v − m

23. Algebra Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

Read every identity both ways: given a² + b² and ab, you can find a + b and a − b.हर सर्वसमिका (Identity) को दोनों तरफ़ से पढ़ें: a² + b² और ab दिए हों, तो a + b और a − b निकल आते हैं।
Putting values works only when the values satisfy the condition and no denominator becomes zero.मान रखने का तरीका तभी चलता है जब मान (Values) शर्त को पूरा करें और कोई हर (Denominator) शून्य न हो।
With coefficients (2x + 3y), the product of the two "numbers" is 6xy, not xy.गुणांक (Coefficient) वाले रूप (2x + 3y) में दोनों "संख्याओं" का गुणनफल (Product) 6xy है, xy नहीं।
Plus form: x² + 1x² = k² − 2, cube k³ − 3k. Minus form: k² + 2, cube k³ + 3k.धन (+) वाला रूप: x² + 1x² = k² − 2, घन (Cube) k³ − 3k। ऋण (−) वाला रूप: k² + 2, घन k³ + 3k।
x² − kx + 1 = 0 means x + 1x = k; x² − kx − 1 = 0 means x − 1x = k.x² − kx + 1 = 0 का मतलब x + 1x = k; x² − kx − 1 = 0 का मतलब x − 1x = k।
x + 1x = −1 ⇒ x³ = 1; x + 1x = 1 ⇒ x³ = −1. Reduce big powers with these.x + 1x = −1 ⇒ x³ = 1; x + 1x = 1 ⇒ x³ = −1। बड़ी घातें (Powers) इन्हीं से छोटी करें।
Three consecutive numbers: a² + b² + c² − ab − bc − ca = 3 and a³ + b³ + c³ − 3abc = 3 × sum.तीन क्रमागत संख्याएँ: a² + b² + c² − ab − bc − ca = 3 और a³ + b³ + c³ − 3abc = 3 × योग।
Three cubes in a question? Add the bases with their signs. If the sum is 0, use a³ + b³ + c³ = 3abc.प्रश्न में तीन घन (Cubes) दिखें, तो आधारों (Bases) को उनके चिह्नों के साथ जोड़ें। योग 0 हो, तो a³ + b³ + c³ = 3abc लगाएँ।
Sum of squares = 0 ⇒ every square is 0. In x² − 2kx form, the value of x is half the coefficient of x with the opposite sign.वर्गों (Squares) का योग = 0 ⇒ हर वर्ग 0 है। x² − 2kx वाले रूप में x का मान (Value) x के गुणांक (Coefficient) का आधा होता है, उल्टे चिह्न के साथ।
Parallel lines / no solution: a₁a₂ = b₁b₂ ≠ c₁c₂; infinite: all three ratios equal.समांतर रेखाएँ (Parallel lines) / कोई हल नहीं: a₁a₂ = b₁b₂ ≠ c₁c₂; अनंत हल: तीनों अनुपात (Ratios) बराबर।
The remainder of p(x) ÷ (2x − 3) is p(32). Always solve divisor = 0.p(x) ÷ (2x − 3) का शेषफल (Remainder) p(32) है। हमेशा भाजक (Divisor) = 0 हल करें।
Equal roots ⇔ b² = 4ac. Sum of roots −ba, product ca.बराबर मूल (Roots) ⇔ b² = 4ac। मूलों का योग −ba, गुणनफल (Product) ca।
In equation and factorisation questions, check the options first; it is usually the quickest route.समीकरण (Equation) और गुणनखंडन (Factorisation) वाले प्रश्नों में पहले विकल्प जाँचें; आमतौर पर यही सबसे जल्दी का रास्ता है।
Hidden cube: if a + b = k, then a³ + b³ + 3k·ab = k³. The coefficient of ab shows the cube; put one variable 0 to check.छिपा घन (Cube): अगर a + b = k, तो a³ + b³ + 3k·ab = k³। ab का गुणांक (Coefficient) घन की पहचान करा देता है; जाँच के लिए एक चर (Variable) को 0 रख दें।
Going backwards in the x + 1x family: add 2 and take the square root at each step (x⁴ + 1x⁴ → x² + 1x² → x + 1x); for x − 1x, subtract 2 at the last step.x + 1x परिवार में उल्टी दिशा में: हर चरण पर 2 जोड़ें और वर्गमूल (Square root) लें (x⁴ + 1x⁴ → x² + 1x² → x + 1x); x − 1x के लिए आखिरी चरण पर 2 घटाएँ।
A³ + B³ + C³ = 3ABC with brackets in x: put A + B + C = 0 and solve for x. And a² + b² + c² = ab + bc + ca means a = b = c.x वाले कोष्ठकों के साथ A³ + B³ + C³ = 3ABC हो, तो A + B + C = 0 रखकर x निकालें। और a² + b² + c² = ab + bc + ca का मतलब a = b = c है।

Square identities

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²; a² − b² = (a + b)(a − b)
a² + b² = (a + b)² − 2ab = (a − b)² + 2ab
(a + b)² − (a − b)² = 4ab; (a + b)² + (a − b)² = 2(a² + b²)
a⁴ + b⁴ = (a² + b²)² − 2a²b²; a⁴ + a²b² + b⁴ = (a² + ab + b²)(a² − ab + b²)
a⁴ − b⁴ = (a² + b²)(a + b)(a − b); chain (a − b)(a + b)(a² + b²)…(aⁿ + bⁿ) = a²ⁿ − b²ⁿ (n = 1, 2, 4, 8, …)a⁴ − b⁴ = (a² + b²)(a + b)(a − b); कड़ी: (a − b)(a + b)(a² + b²)…(aⁿ + bⁿ) = a²ⁿ − b²ⁿ (n = 1, 2, 4, 8, …)

Cube identities

(a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b); (a − b)³ = a³ − b³ − 3ab(a − b)
a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) = (a + b)³ − 3ab(a + b)
a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) = (a − b)³ + 3ab(a − b)
a + b = k ⇒ a³ + b³ + 3k·ab = k³; p³ + 3p² + 3p = (p + 1)³ − 1
(a + b)³ + (a − b)³ = 2a(a² + 3b²); a + b = 0 ⇒ a³ + b³ = 0

The x + 1/x family

x + 1x = k ⇒ x² + 1x² = k² − 2, x³ + 1x³ = k³ − 3k
x − 1x = k ⇒ x² + 1x² = k² + 2, x³ − 1x³ = k³ + 3k
x⁴ + 1x⁴ = (x² + 1x²)² − 2; (x + 1x)² − (x − 1x)² = 4
x⁵ + 1x⁵ = (x² + 1x²)(x³ + 1x³) − (x + 1x); x⁶ + 1x⁶ = (x³ + 1x³)² − 2
√x + 1√x = k ⇒ x + 1x = k² − 2; x² − kx ± 1 = 0 ⇒ x ± 1x = k
Special values: x + 1x = 2 ⇒ x = 1; −2 ⇒ x = −1; −1 ⇒ x³ = 1; 1 ⇒ x³ = −1विशेष मान: x + 1x = 2 ⇒ x = 1; −2 ⇒ x = −1; −1 ⇒ x³ = 1; 1 ⇒ x³ = −1

Three variables

(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2(ab + bc + ca)
a² + b² + c² − ab − bc − ca = 12[(a − b)² + (b − c)² + (c − a)²]
a³ + b³ + c³ − 3abc = (a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca) = (a + b + c)[(a + b + c)² − 3(ab + bc + ca)]
Consecutive numbers: a² + b² + c² − ab − bc − ca = 3 and a³ + b³ + c³ − 3abc = 3(a + b + c)क्रमागत संख्याएँ: a² + b² + c² − ab − bc − ca = 3 और a³ + b³ + c³ − 3abc = 3(a + b + c)
a + b + c = 0 ⇒ a³ + b³ + c³ = 3abc, a² + b² + c² = −2(ab + bc + ca), a²bc + b²ca + c²ab = 3
a³ + b³ + c³ = 3abc (real) ⇒ a + b + c = 0 or a = b = c; a² + b² + c² = ab + bc + ca ⇒ a = b = ca³ + b³ + c³ = 3abc (वास्तविक) ⇒ a + b + c = 0 या a = b = c; a² + b² + c² = ab + bc + ca ⇒ a = b = c
Sum of squares = 0 ⇒ each square = 0; x² − 2kx = (x − k)² − k²वर्गों (Squares) का योग = 0 ⇒ हर वर्ग = 0; x² − 2kx = (x − k)² − k²

Equations and polynomials

a₁x + b₁y + c₁ = 0, a₂x + b₂y + c₂ = 0: unique if a₁a₂ ≠ b₁b₂; none if a₁a₂ = b₁b₂ ≠ c₁c₂; infinite if all three ratios are equala₁x + b₁y + c₁ = 0, a₂x + b₂y + c₂ = 0: एक हल अगर a₁a₂ ≠ b₁b₂; कोई हल नहीं अगर a₁a₂ = b₁b₂ ≠ c₁c₂; अनंत हल अगर तीनों अनुपात (Ratios) बराबर हों
Remainder of p(x) ÷ (x − a) = p(a); (x − a) is a factor ⇔ p(a) = 0p(x) ÷ (x − a) का शेषफल (Remainder) = p(a); (x − a) गुणनखंड (Factor) है ⇔ p(a) = 0
ax² + bx + c = 0: x = −b ± √b² − 4ac2a; α + β = −ba, αβ = ca
D = b² − 4ac: > 0 distinct real roots, = 0 equal roots, < 0 no real rootsD = b² − 4ac: > 0 अलग-अलग वास्तविक मूल (Roots), = 0 बराबर मूल, < 0 कोई वास्तविक मूल नहीं
Least value of ax² + bx + c (a > 0) = 4ac − b²4a; positive numbers: AM ≥ GM ≥ HMax² + bx + c (a > 0) का न्यूनतम मान = 4ac − b²4a; धनात्मक संख्याएँ: AM ≥ GM ≥ HM

24. Geometry I · Lines, Angles & Triangles Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

Complement 90°, supplement 180°; at a crossing only vertically opposite angles are equal.पूरक (Complement) यानी 90°, संपूरक (Supplement) यानी 180°; दो रेखाओं (Line) के कटान पर सिर्फ़ शीर्षाभिमुख कोण (Angle) बराबर होते हैं।
Parallel lines give only two values, x and 180° − x; a point between the lines adds the two angles.समांतर रेखाएँ (Parallel lines) सिर्फ़ दो मान देती हैं, x और 180° − x; दोनों रेखाओं के बीच का बिंदु (Point) दोनों कोणों (Angle) को जोड़ देता है।
Exterior angle = sum of the two interior opposite angles, so the third angle is never needed.बाह्य कोण (Exterior angle) = दोनों अंतः सम्मुख कोणों का योग, इसलिए तीसरा कोण निकालने की ज़रूरत नहीं पड़ती।
The three exterior angles add up to 360°: share 360° (not 180°) when they are given in a ratio; the largest exterior angle sits at the smallest interior angle.तीनों बाह्य कोणों (Exterior angles) का योग 360° है: अनुपात (Ratio) में दिए हों तो 360° बाँटें, 180° नहीं; सबसे बड़ा बाह्य कोण सबसे छोटे अंतः कोण (Interior angle) वाले शीर्ष पर होता है।
2A = 3B = 6C means A : B : C = 3 : 2 : 1 (reciprocals 12 : 13 : 16), not 2 : 3 : 6.2A = 3B = 6C का मतलब A : B : C = 3 : 2 : 1 है (व्युत्क्रम, Reciprocals: 12 : 13 : 16), 2 : 3 : 6 नहीं।
Two smaller sides must add to more than the largest; integer third sides = 2 × smaller − 1.दो छोटी भुजाओं (Sides) का योग सबसे बड़ी भुजा से अधिक होना चाहिए; तीसरी भुजा के पूर्णांक (Integer) मानों की संख्या = 2 × छोटी भुजा − 1।
AAA and SSA never prove congruence; read correspondence from the order of letters.AAA और SSA से सर्वांगसमता (Congruence) कभी सिद्ध नहीं होती; संगत भाग अक्षरों के क्रम से पढ़ें।
Lengths of similar triangles follow k and areas follow k²: square on the way to area, take the root on the way back.समरूप त्रिभुजों (Similar triangles) में लंबाइयाँ k के अनुपात (Ratio) में और क्षेत्रफल (Area) k² के अनुपात में चलते हैं: क्षेत्रफल की ओर जाते समय वर्ग करें, लौटते समय वर्गमूल (Square root) लो।
Same height ⇒ areas in the ratio of the bases: a median halves the area; for a chain of cevians give the whole triangle an easy area (the LCM of the ratio totals).समान ऊँचाई ⇒ क्षेत्रफल (Area) आधारों के अनुपात (Ratio) में: माध्यिका (Median) क्षेत्रफल को आधा करती है; कई cevians हों, तो पूरे त्रिभुज (Triangle) को आसान क्षेत्रफल दे दो (अनुपातों के योगों का LCM)।
In BPT, DE : BC = AD : AB (whole side), but AD : DB = AE : EC.BPT में DE : BC = AD : AB (पूरी भुजा (Side)), लेकिन AD : DB = AE : EC।
Look for a triplet before squaring: 0.9, 4 → 4.1; 24, 26 → 10; hypotenuse 37 → 12, 35.वर्ग करने से पहले त्रिक (Triplet) ढूँढो: 0.9, 4 → 4.1; 24, 26 → 10; कर्ण (Hypotenuse) 37 → 12, 35।
Altitude on the hypotenuse = product of legs ÷ hypotenuse; the parts are leg² ÷ hypotenuse.कर्ण (Hypotenuse) पर शीर्षलंब (Altitude) = बाकी दो भुजाओं (Side) का गुणनफल (Product) ÷ कर्ण; कर्ण के भाग = (भुजा)² ÷ कर्ण।
45-45-90 is 1 : 1 : √2, 30-60-90 is 1 : √3 : 2; equilateral height √32a.45-45-90 में 1 : 1 : √2 और 30-60-90 में 1 : √3 : 2; समबाहु त्रिभुज (Equilateral triangle) की ऊँचाई √32a।
The bisector of ∠A cuts BC in the ratio AB : AC, each part next to its own side.∠A का समद्विभाजक (Bisector) BC को AB : AC में काटता है, और हर भाग अपनी भुजा (Side) के पास रहता है।
Bisector angles: internal–internal 90° + A2, external–external 90° − A2, internal–external A2.समद्विभाजकों (Bisectors) के बीच के कोण (Angle): अंतः–अंतः 90° + A2, बाह्य–बाह्य 90° − A2, अंतः–बाह्य A2।
Centroid: 2 : 1 from the vertex; six equal small triangles; with perpendicular medians, use the 23 pieces in a right triangle.केन्द्रक (Centroid) शीर्ष की ओर से 2 : 1 में बाँटता है; छह बराबर छोटे त्रिभुज बनते हैं; लंब (Perpendicular) माध्यिकाओं (Median) में 23 वाले टुकड़ों से समकोण (Right angle) त्रिभुज (Right-angled triangle) बनाएँ।
∠BOC = 2A (A acute), ∠BHC = 180° − A; right triangle: circumcentre at the hypotenuse midpoint, orthocentre at the right angle; equilateral: R = 2r.∠BOC = 2A (A न्यूनकोण (Acute angle)), ∠BHC = 180° − A; समकोण (Right angle) त्रिभुज (Right-angled triangle) में परिकेंद्र (Circumcentre) कर्ण (Hypotenuse) के मध्य-बिंदु (Midpoint) पर और लंबकेंद्र (Orthocentre) समकोण वाले शीर्ष पर; समबाहु त्रिभुज (Equilateral triangle) में R = 2r।
Inradius r = Δs (right triangle: a + b − c2); circumradius R = abc4Δ (right triangle: half the hypotenuse). Incentre and centroid are always inside; circumcentre and orthocentre move outside for an obtuse triangle.अंतःत्रिज्या (Inradius) r = Δs (समकोण त्रिभुज (Right-angled triangle) में a + b − c2); परित्रिज्या (Circumradius) R = abc4Δ (समकोण (Right angle) त्रिभुज में कर्ण (Hypotenuse) का आधा)। अंतःकेंद्र और केन्द्रक (Centroid) हमेशा अंदर होते हैं; अधिककोण (Obtuse angle) त्रिभुज में परिकेंद्र और लंबकेंद्र बाहर चले जाते हैं।

Lines and angles

Complement of x = 90° − x; supplement of x = 180° − xx का पूरक (Complement) = 90° − x; x का संपूरक (Supplement) = 180° − x
Linear pair = 180°; angles around a point = 360°; vertically opposite angles are equalरैखिक युग्म (Linear pair) = 180°; बिंदु (Point) के चारों ओर = 360°; शीर्षाभिमुख कोण (Angle) बराबर
Parallel lines: corresponding = alternate; co-interior sum = 180°समांतर रेखाएँ (Parallel lines): संगत कोण = एकांतर कोण (Alternate angle); क्रमागत अंतः कोणों (Interior angle) का योग = 180°
Zig-zag (point between the lines): middle angle = a + b; point outside: bigger − smallerमुड़ी हुई रेखा (Zig-zag), बिंदु (Point) रेखाओं के बीच: बीच का कोण (Angle) = a + b; बिंदु बाहर: बड़ा − छोटा

Angles of a triangle

A + B + C = 180°; exterior angle = sum of the two interior opposite angles; exterior angles sum = 360°A + B + C = 180°; बाह्य कोण (Exterior angle) = दोनों अंतः सम्मुख कोणों का योग; तीनों बाह्य कोणों का योग = 360°
pA = qB = rC ⇒ A : B : C = 1p : 1q : 1r; angles in AP ⇒ middle = 60°pA = qB = rC ⇒ A : B : C = 1p : 1q : 1r; कोण (Angle) समांतर (Parallel) श्रेढ़ी (AP) में ⇒ बीच वाला = 60°
Isosceles: base angle = 180° − vertical angle2समद्विबाहु (Isosceles): आधार कोण (Angle) = 180° − शीर्ष कोण2
Five-pointed star: sum of the five tip angles = 180°पाँच नोक वाला तारा (Star): पाँचों नोकों के कोणों (Angle) का योग = 180°
Arrowhead (concave) quadrilateral with reflex angle at C: outside ∠BCD = ∠A + ∠B + ∠Dतीर-नुमा (अवतल) चतुर्भुज (Quadrilateral) में, C पर प्रतिवर्ती कोण (Angle) हो तो बाहरी ∠BCD = ∠A + ∠B + ∠D

Sides of a triangle

|a − b| < c < a + b; integer values of c = 2 × min(a, b) − 1|a − b| < c < a + b; c के पूर्णांक (Integer) मानों की संख्या = 2 × min(a, b) − 1
Longest side opposite the largest angle; each side < perimeter2सबसे बड़े कोण (Angle) के सामने सबसे लंबी भुजा (Side); हर भुजा < परिमाप2
c² = a² + b² right; c² < a² + b² acute; c² > a² + b² obtuse (c longest)c² = a² + b² समकोण (Right angle); c² < a² + b² न्यूनकोण (Acute angle); c² > a² + b² अधिककोण (c सबसे लंबी भुजा, भुजा (Side))
Angle 60° between a, b: c² = a² + b² − ab; angle 120°: c² = a² + b² + aba, b के बीच 60° का कोण (Angle): c² = a² + b² − ab; 120° का कोण: c² = a² + b² + ab

Congruence and similarity

Congruence: SSS, SAS, ASA, AAS, RHS (not AAA, not SSA)सर्वांगसमता (Congruence): SSS, SAS, ASA, AAS, RHS (AAA नहीं, SSA नहीं)
Similarity: AA, SSS, SAS; sides, perimeters, altitudes, medians in ratio kसमरूपता (Similarity): AA, SSS, SAS; भुजाएँ (Side), परिमाप (Perimeter), शीर्षलंब (Altitude) और माध्यिकाएँ (Median) अनुपात (Ratio) k में
Areas of similar triangles in ratio k²समरूप त्रिभुजों (Similar triangles) के क्षेत्रफल (Area) अनुपात (Ratio) k² में
BPT: DE ∥ BC ⇒ ADDB = AEEC, DEBC = ADAB; midpoint theorem: DE = 12BCBPT: DE ∥ BC ⇒ ADDB = AEEC, DEBC = ADAB; मध्य-बिंदु (Point) प्रमेय (Midpoint theorem): DE = 12BC
∠PSR = ∠QPR (S on QR) ⇒ PR² = QR × SR∠PSR = ∠QPR (S, QR पर) ⇒ PR² = QR × SR

Areas inside a triangle

Same height ⇒ areas ∝ bases; same base ⇒ areas ∝ heightsसमान ऊँचाई ⇒ क्षेत्रफल (Area) ∝ आधार (Bases); समान आधार ⇒ क्षेत्रफल ∝ ऊँचाइयाँ (Heights)
Median halves the area; midpoint triangle = 14 of the areaमाध्यिका (Median) क्षेत्रफल (Area) को आधा करती है; मध्य-बिंदुओं (Midpoint) से बना त्रिभुज (Triangle) = क्षेत्रफल का 14
Area = 12bh = √s(s − a)(s − b)(s − c) = 12ab sin Cक्षेत्रफल (Area) = 12bh = √s(s − a)(s − b)(s − c) = 12ab sin C
Concurrent cevians: weights are inverse to the parts; AO : OD = w(D) : w(A); AOOD = AFFB + AEECसंगामी cevians: भार भागों के उल्टे अनुपात (Ratio) में; AO : OD = w(D) : w(A); AOOD = AFFB + AEEC

Right and special triangles

Triplets: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 20-21-29, 9-40-41, 12-35-37, 11-60-61त्रिक (Triplets): 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 20-21-29, 9-40-41, 12-35-37, 11-60-61
Altitude on the hypotenuse: AD = AB × ACBC; AD² = BD × DC; AB² = BD × BC; AC² = DC × BCकर्ण (Hypotenuse) पर शीर्षलंब (Altitude): AD = AB × ACBC; AD² = BD × DC; AB² = BD × BC; AC² = DC × BC
45-45-90 → 1 : 1 : √2; 30-60-90 → 1 : √3 : 2
Equilateral: h = √32a, area = √34a², R = a√3, r = a2√3समबाहु (Equilateral): h = √32a, क्षेत्रफल (Area) = √34a², R = a√3, r = a2√3
Point inside an equilateral △: sum of perpendiculars to the sides = hसमबाहु △ (Equilateral) के अंदर कोई बिंदु (Point): भुजाओं (Side) पर लंबों (Perpendicular) का योग = h
Isosceles altitude = √s² − b²4समद्विबाहु (Isosceles) का शीर्षलंब (Altitude) = √s² − b²4

Angle bisectors and centres

Internal bisector: BDDC = ABAC; external bisector: BECE = ABACअंतः समद्विभाजक (Internal bisector): BDDC = ABAC; बाह्य समद्विभाजक (External bisector): BECE = ABAC
Angle between bisector and altitude from A = |B − C|2A से समद्विभाजक (Bisector) और शीर्षलंब (Altitude) के बीच का कोण (Angle) = |B − C|2
Incentre: ∠BIC = 90° + A2; r = Δs; right △: r = a + b − c2अंतःकेंद्र (Incentre): ∠BIC = 90° + A2; r = Δs; समकोण (Right angle) △: r = a + b − c2
External bisectors of B, C: 90° − A2; internal B with external C: A2B, C के बाह्य समद्विभाजक (External bisectors): 90° − A2; B का अंतः और C का बाह्य: A2
Centroid: AG : GD = 2 : 1; six equal small triangles; Apollonius AB² + AC² = 2(AD² + BD²)केन्द्रक (Centroid): AG : GD = 2 : 1; बराबर क्षेत्रफल (Area) वाले छह छोटे त्रिभुज (Triangle); Apollonius: AB² + AC² = 2(AD² + BD²)
Perpendicular medians AD, BE: AB² = (23AD)² + (23BE)²; area = 23AD × BEलंब माध्यिकाएँ (Perpendicular medians) AD, BE: AB² = (23AD)² + (23BE)²; क्षेत्रफल (Area) = 23AD × BE
Circumcentre: ∠BOC = 2A (A acute); R = abc4Δ; right △: R = hypotenuse2परिकेंद्र (Circumcentre): ∠BOC = 2A (A न्यूनकोण (Acute angle) हो); R = abc4Δ; समकोण (Right angle) △: R = कर्ण2
Orthocentre: ∠BHC = 180° − A (∠B, ∠C acute); Euler line HG : GO = 2 : 1लंबकेंद्र (Orthocentre): ∠BHC = 180° − A (∠B, ∠C न्यूनकोण (Acute angle) हों); Euler रेखा (Line): HG : GO = 2 : 1
Circumradius from an altitude: R = bc2 × AD (AD ⊥ BC); acute triangle: AH × HD = BH × HE = CH × HFलंब (Perpendicular) से परिव्यासार्ध (Circumradius): R = bc2 × AD (AD ⊥ BC); न्यूनकोण (Acute angle) त्रिभुज (Triangle) में: AH × HD = BH × HE = CH × HF

25. Geometry II · Circles & Quadrilaterals Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

Join the centre to every chord end and every point of contact; the radii make isosceles triangles.हर जीवा (Chord) के सिरों और हर स्पर्श बिंदु (Point) से केंद्र को जोड़ें; त्रिज्याएँ (Radii) समद्विबाहु त्रिभुज (Isosceles triangle) बना देती हैं।
The hidden 90° lives in three places: perpendicular from the centre, angle in a semicircle, tangent–radius.छिपा हुआ 90° तीन जगह मिलता है: केंद्र से जीवा (Chord) पर लंब (Perpendicular), अर्धवृत्त (Semicircle) में बना कोण (Angle), और स्पर्श बिंदु (Point) पर स्पर्श रेखा (Tangent) तथा त्रिज्या (Radii) के बीच।
Chord questions are one Pythagoras with the half chord; watch for 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25.जीवा (Chord) वाले प्रश्न आधी जीवा के साथ एक Pythagoras हैं; 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 पर नज़र रखें।
Parallel chords: same side subtract, opposite sides add.समांतर (Parallel) जीवाएँ (Chord): एक ही ओर हों तो दूरियाँ घटाएँ, विपरीत ओर हों तो जोड़ें।
Centre angle = 2 × circumference angle; on the minor arc the angle is 180° − half.केंद्र पर कोण (Angle) = 2 × परिधि (Circumference) पर कोण; लघु चाप (Minor arc) पर बना कोण 180° − आधा होता है।
Chords crossing inside: half the sum of arcs; secants outside: half the difference.अंदर काटती जीवाएँ (Chord): चापों (Arc) के योग का आधा; बाहर मिलती छेदक रेखाएँ (Secants): चापों के अंतर का आधा।
Cyclic quadrilateral: opposite angles 180°, exterior angle = interior opposite.चक्रीय चतुर्भुज (Cyclic quadrilateral): सम्मुख कोणों का योग 180°, बाह्य कोण (Exterior angle) = अंतः सम्मुख कोण।
Tangents from a point are equal; ∠APB + ∠AOB = 180°.एक बिंदु (Point) से खींची गई दोनों स्पर्श रेखाएँ (Tangents) बराबर होती हैं; ∠APB + ∠AOB = 180°।
Incircle pieces are s − a, s − b, s − c; circumscribed quadrilateral: opposite sides add equally.अंतःवृत्त (Incircle) के टुकड़े s − a, s − b, s − c हैं; वृत्त (Circle) के चारों ओर बने चतुर्भुज (Quadrilateral) में सम्मुख भुजाओं (Side) के योग बराबर होते हैं।
Tangent–chord angle = angle in the alternate segment.स्पर्श रेखा (Tangent) और जीवा (Chord) के बीच का कोण (Angle) = एकांतर वृत्तखंड (Alternate segment) में बना कोण।
Power of a point: near × far is constant; tangent² = near × far.बिंदु की घात (Power of a point): पास × दूर हर रेखा पर एक ही रहता है; स्पर्श रेखा (Tangent)² = पास × दूर।
Common tangents 4-3-2-1-0 as the circles move closer; DCT uses r₁ − r₂, TCT uses r₁ + r₂.वृत्त (Circle) जैसे-जैसे पास आते हैं, उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ (Common tangents) 4-3-2-1-0 होती जाती हैं; DCT में r₁ − r₂, TCT में r₁ + r₂।
Touching circles: DCT = 2√r₁r₂ and the contact point sees AB at 90°.छूने वाले वृत्त (Circle): DCT = 2√r₁r₂, और स्पर्श बिंदु (Point) से AB 90° पर दिखती है।
Rhombus: work with half-diagonals; parallelogram: adjacent angles add to 180°.समचतुर्भुज (Rhombus): आधे विकर्णों (Diagonal) से काम करें; समांतर (Parallel) चतुर्भुज (Parallelogram): आसन्न कोणों (Angle) का योग 180°।
Polygon: go to the exterior angle first, n = 360 ÷ exterior; diagonals = n(n − 3)2.बहुभुज (Polygon): पहले बाह्य कोण (Exterior angle) पर जाओ, n = 360 ÷ बाह्य कोण; विकर्ण (Diagonal) = n(n − 3)2।
Tangents at 90° ⇒ OAPB is a square (OP = r√2); tangents at 60° ⇒ OP = 2r, PA = r√3, and △APB is equilateral.स्पर्श रेखाओं (Tangent) के बीच 90° ⇒ OAPB वर्ग है (OP = r√2); 60° ⇒ OP = 2r, PA = r√3, और △APB समबाहु (Equilateral) है।
Right triangle: circumradius = hypotenuse2, inradius = a + b − c2.समकोण (Right angle) त्रिभुज (Right-angled triangle): परित्रिज्या (Circumradius) = कर्ण2, अंतःत्रिज्या (Inradius) = a + b − c2।
A cyclic parallelogram is a rectangle; a parallelogram with an incircle is a rhombus; a cyclic trapezium is isosceles.चक्रीय समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) आयत (Rectangle) होता है; अंतःवृत्त (Incircle) वाला समांतर (Parallel) चतुर्भुज समचतुर्भुज (Rhombus) होता है; चक्रीय समलंब चतुर्भुज (Trapezium) समद्विबाहु (Isosceles) होता है।
Regular polygon: interior = k × exterior ⇒ n = 2k + 2; interior − exterior = x ⇒ exterior = 180° − x2.सम बहुभुज (Regular polygon): अंतः कोण (Interior angle) = k × बाह्य कोण (Exterior angle) ⇒ n = 2k + 2; अंतः कोण − बाह्य कोण = x ⇒ बाह्य कोण = 180° − x2।

Chords

Perpendicular from the centre bisects the chord; r² = d² + (chord2)²केंद्र से डाला गया लंब (Perpendicular) जीवा (Chord) को समद्विभाजित करता है; r² = d² + (जीवा2)²
Equal chords ⇔ equidistant from the centre; nearer chord is longer; diameter is the longest chordबराबर जीवाएँ (Chords) ⇔ केंद्र से बराबर दूरी; पास वाली जीवा ज़्यादा लंबी; व्यास (Diameter) सबसे लंबी जीवा
Parallel chords: gap = |d₁ − d₂| (same side), d₁ + d₂ (opposite sides)समांतर (Parallel) जीवाएँ (Chord): बीच की दूरी = |d₁ − d₂| (एक ही ओर), d₁ + d₂ (विपरीत ओर)
Concentric circles: chord of outer touching inner = 2√R² − r²संकेंद्रीय वृत्त (Concentric circles): अंदर वाले वृत्त को छूने वाली बाहरी वृत्त की जीवा (Chord) = 2√R² − r²
Exactly one circle through 3 non-collinear points; none through 3 collinear points3 असंरेख (Non-collinear) बिंदुओं (Point) से ठीक एक वृत्त (Circle); 3 संरेख (Collinear) बिंदुओं से एक भी नहीं
AB = AC (A on the circle) ⇒ AO bisects ∠BACAB = AC (A वृत्त (Circle) पर) ⇒ AO, ∠BAC को समद्विभाजित करता है

Angles in a circle

Angle at centre = 2 × angle at circumference (same arc)केंद्र पर कोण (Angle) = 2 × परिधि (Circumference) पर कोण (एक ही चाप (Arc) पर)
Same segment angles equal; angle in a semicircle = 90°एक ही वृत्तखंड (Segment) के कोण (Angle) बराबर; अर्धवृत्त (Semicircle) में कोण = 90°
Minor central angle θ: major-arc point sees θ2, minor-arc point sees 180° − θ2लघु चाप का केंद्रीय कोण (Angle) θ: दीर्घ चाप (Major arc) के बिंदु (Point) से θ2, लघु चाप (Minor arc) के बिंदु से 180° − θ2
Central angle 60°, 90°, 120° ⇒ chord r, r√2, r√3केंद्रीय कोण (Central angle) 60°, 90°, 120° ⇒ जीवा (Chord) = r, r√2, r√3
∠OAB = 90° − ∠ACB (C on major arc); circumradius of right △ = hypotenuse2∠OAB = 90° − ∠ACB (C दीर्घ चाप (Arc) पर); समकोण (Right angle) △ की परित्रिज्या (Circumradius) = कर्ण2
Chords meeting inside: ∠ = 12(sum of arcs); secants meeting outside: ∠ = 12(difference of arcs)अंदर मिलती जीवाएँ (Chords): ∠ = 12(चापों (Arc) का योग); बाहर मिलती छेदक रेखाएँ (Secants): ∠ = 12(चापों का अंतर)
Altitude and circum-diameter from A make an angle |∠B − ∠C|A से डाला गया शीर्षलंब (Altitude) और A से परिवृत्त (Circumcircle) का व्यास (Diameter), इनके बीच का कोण (Angle) = |∠B − ∠C|
Chord = 2R sin θ (θ = inscribed angle on the major arc); BC = 2R sin Aजीवा (Chord) = 2R sin θ (θ = दीर्घ चाप (Arc) का अंतर्लिखित कोण (Angle)); BC = 2R sin A

Cyclic quadrilateral

Opposite angles supplementary; exterior angle = interior opposite angleसम्मुख कोण (Opposite angles) संपूरक होते हैं; बाह्य कोण (Exterior angle) = अंतः सम्मुख कोण
Cyclic parallelogram = rectangle; cyclic trapezium is isoscelesचक्रीय समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) = आयत (Rectangle); चक्रीय समलंब चतुर्भुज (Trapezium) समद्विबाहु (Isosceles) होता है
AB, DC produced meet at E and AD, BC produced meet at F (C nearest to both): 2∠A + ∠E + ∠F = 180°AB, DC बढ़ाने पर E पर और AD, BC बढ़ाने पर F पर मिलें (C दोनों के सबसे पास): 2∠A + ∠E + ∠F = 180°
Ptolemy: AC × BD = AB × CD + AD × BCPtolemy प्रमेय (Theorem): AC × BD = AB × CD + AD × BC

Tangents

Tangent ⊥ radius; PA = PB = √OP² − r²स्पर्श बिंदु (Point) पर स्पर्श रेखा (Tangent) ⊥ त्रिज्या (Radius); PA = PB = √OP² − r²
∠APB + ∠AOB = 180°; ∠OAB = 12∠APB; area OAPB = r × PA∠APB + ∠AOB = 180°; ∠OAB = 12∠APB; OAPB का क्षेत्रफल (Area) = r × PA
∠APB = 90° ⇒ OP = r√2; ∠APB = 60° ⇒ OP = 2r, PA = r√3∠APB = 90° हो तो OP = r√2; ∠APB = 60° हो तो OP = 2r, PA = r√3
Incircle tangent lengths s − a, s − b, s − c; right △: r = a + b − c2 (c = hypotenuse)अंतःवृत्त (Incircle) से स्पर्श रेखा (Tangent) के टुकड़े s − a, s − b, s − c; समकोण (Right angle) △ में r = a + b − c2 (c = कर्ण (Hypotenuse))
Circumscribed quadrilateral: AB + CD = AD + BC; third tangent: perimeter of △PRS = 2PAवृत्त (Circle) के चारों ओर बना चतुर्भुज (Quadrilateral): AB + CD = AD + BC; तीसरी स्पर्श रेखा (Tangent): △PRS का परिमाप (Perimeter) = 2PA
Alternate segment: ∠(tangent, chord) = angle in the alternate segment = 12 central angleएकांतर वृत्तखंड (Alternate segment): ∠(स्पर्श रेखा (Tangent), जीवा (Chord)) = एकांतर वृत्तखंड का कोण (Angle) = 12 केंद्रीय कोण

Power of a point

PA × PB = PC × PD (inside or outside); PT² = PA × PBPA × PB = PC × PD (अंदर या बाहर); PT² = PA × PB
Common chord produced bisects the common tangentबढ़ाई गई उभयनिष्ठ जीवा (Common chord), उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा (Common tangent) को समद्विभाजित करती है

Two circles

Common tangents: 4 (d > r₁ + r₂), 3 (d = r₁ + r₂), 2 (intersecting), 1 (d = r₁ − r₂), 0 (d < r₁ − r₂)उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ (Common tangents): 4 (d > r₁ + r₂), 3 (d = r₁ + r₂), 2 (काटते हुए), 1 (d = r₁ − r₂), 0 (d < r₁ − r₂)
DCT = √d² − (r₁ − r₂)²; TCT = √d² − (r₁ + r₂)²; DCT² − TCT² = 4r₁r₂
Touching externally: DCT = 2√r₁r₂, ∠APB = 90°बाहर से छूने पर: DCT = 2√r₁r₂, ∠APB = 90°
Tangents divide O₁O₂ in r₁ : r₂ (direct externally, transverse internally)स्पर्श रेखाएँ (Tangent) O₁O₂ को r₁ : r₂ में विभाजित करती हैं (सीधी बाह्य रूप से, अनुप्रस्थ आंतरिक रूप से)
Common chord (h = half chord, centres on opposite sides): d = √r₁² − h² + √r₂² − h²; equal circles through each other's centre: chord = r√3उभयनिष्ठ जीवा (h = आधी जीवा, केंद्र विपरीत ओर): d = √r₁² − h² + √r₂² − h²; एक-दूसरे के केंद्र से जाने वाले बराबर वृत्त (Circle): जीवा = r√3
Circle in the gap between two touching circles and a line: 1√r₂ = 1√r₁ + 1√r₃दो छूते वृत्तों (Circle) और रेखा (Line) के बीच के वृत्त के लिए: 1√r₂ = 1√r₁ + 1√r₃

Quadrilaterals

Angle sum 360°; parallelogram: adjacent angles supplementary, diagonals bisect each otherकोणों (Angle) का योग 360°; समांतर (Parallel) चतुर्भुज (Parallelogram): आसन्न कोण संपूरक, विकर्ण (Diagonal) एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं
Parallelogram: d₁² + d₂² = 2(a² + b²), area = base × heightसमांतर (Parallel) चतुर्भुज (Parallelogram) में d₁² + d₂² = 2(a² + b²), क्षेत्रफल (Area) = आधार × ऊँचाई
Rhombus: 4a² = d₁² + d₂², area = 12d₁d₂; square: diagonal = a√2समचतुर्भुज (Rhombus) में 4a² = d₁² + d₂², क्षेत्रफल (Area) = 12d₁d₂; वर्ग (Square) का विकर्ण (Diagonal) = a√2
Trapezium (AB ∥ CD): diagonals cut each other in the ratio of the parallel sides, area(AOB) : area(COD) = AB² : CD²समलंब चतुर्भुज (Trapezium) (AB ∥ CD): विकर्ण (Diagonal) एक-दूसरे को समांतर (Parallel) भुजाओं (Sides) के अनुपात (Ratio) में काटते हैं, क्षेत्रफल(AOB) : क्षेत्रफल(COD) = AB² : CD²
Kite: the axis diagonal is the perpendicular bisector of the other diagonalपतंगाकार चतुर्भुज (Kite): सममिति अक्ष वाला विकर्ण (Diagonal), दूसरे विकर्ण का लंब (Perpendicular) समद्विभाजक (Bisector) होता है
Perpendicular diagonals: AB² + CD² = BC² + DA²; area = 12d₁d₂ sin θ; mid-point quadrilateral is a parallelogram with perimeter d₁ + d₂लंबवत विकर्णों (Diagonal) में: AB² + CD² = BC² + DA²; क्षेत्रफल (Area) = 12d₁d₂ sin θ; मध्य-बिंदु (Midpoint) चतुर्भुज समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) है जिसका परिमाप (Perimeter) d₁ + d₂
Trapezium: ar(AOD) = ar(BOC); areas AOB : AOD : BOC : COD = a² : ab : ab : b²समलंब (Trapezium) में: क्षेत्रफल(AOD) = क्षेत्रफल(BOC); AOB : AOD : BOC : COD = a² : ab : ab : b²

Polygons

Interior sum = (n − 2) × 180°; exterior sum = 360°अंतः कोणों (Interior angles) का योग = (n − 2) × 180°; बाह्य कोणों (Exterior angles) का योग = 360°
Regular: exterior = 360°n, interior = 180° − 360°nसम बहुभुज (Regular polygon): बाह्य कोण (Exterior angle) = 360°n, अंतः कोण (Interior angle) = 180° − 360°n
Interior = k × exterior ⇒ n = 2k + 2अगर अंतः कोण (Interior angle) = k × बाह्य कोण (Exterior angle), तो n = 2k + 2
Diagonals = n(n − 3)2; triangles from one vertex = n − 2; triangles from vertices = C(n, 3)विकर्ण (Diagonals) = n(n − 3)2; एक शीर्ष (Vertex) से त्रिभुज (Triangles) = n − 2; शीर्षों (Vertices) से त्रिभुज = C(n, 3)
Pentagon 108°, hexagon 120°, octagon 135°, nonagon 140°, decagon 144°, dodecagon 150°हर अंतः कोण (Interior angle): पंचभुज 108°, षट्भुज (Hexagon) 120°, अष्टभुज 135°, नवभुज 140°, दशभुज 144°, द्वादशभुज 150°
Regular hexagon (side a): area 3√32a², long diagonals 2a, short diagonals a√3; regular octagon: area 2(1 + √2)a²सम षट्भुज (भुजा (Side) a): क्षेत्रफल (Area) 3√32a², लंबे विकर्ण (Diagonal) 2a, छोटे विकर्ण a√3; सम अष्टभुज: क्षेत्रफल 2(1 + √2)a²

26. Mensuration 2D Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

Perimeter = boundary (fencing, frame, wire); area = surface (paint, tiles, carpet, levelling). Decide this first.परिमाप (Perimeter) = सीमा (बाड़, फ़्रेम, तार); क्षेत्रफल (Area) = सतह (पेंट, टाइलें, कालीन, समतल करना)। सबसे पहले यही तय करें।
Area units go with the square: 1 m² = 10,000 cm², not 100.क्षेत्रफल (Area) की इकाइयाँ वर्ग के हिसाब से बदलती हैं: 1 m² = 10,000 cm², 100 नहीं।
Length × k ⇒ area × k². Side up x% ⇒ area up 2x + x²100 %.लंबाई (Length) × k ⇒ क्षेत्रफल (Area) × k²। भुजा (Side) x% बढ़ी ⇒ क्षेत्रफल 2x + x²100 % बढ़ा।
Heron's formula uses the semi-perimeter s, and (s − a) + (s − b) + (s − c) = s.हीरोन सूत्र (Heron's formula) में अर्ध-परिमाप (Perimeter) s आता है, और (s − a) + (s − b) + (s − c) = s।
Area = r × s for the incircle; R = abc4 × Area; in a right triangle R = hypotenuse2.अंतःवृत्त (Incircle) के लिए क्षेत्रफल (Area) = r × s; R = abc4 × क्षेत्रफल; समकोण (Right angle) त्रिभुज (Right-angled triangle) में R = कर्ण2।
Look for a triplet before every square root: in right triangles, rectangles, the half-diagonals of a rhombus and chords.हर वर्गमूल (Square root) से पहले त्रिक (Triplet) ढूँढो: समकोण (Right angle) त्रिभुज (Right-angled triangle), आयत (Rectangle), समचतुर्भुज (Rhombus) के आधे विकर्णों (Diagonal) और जीवाओं (Chords) में।
Equilateral: area √34a², height √32a, R = 2r. Hexagon = 6 such triangles.समबाहु त्रिभुज (Equilateral triangle): क्षेत्रफल (Area) √34a², ऊँचाई √32a, R = 2r। सम षट्भुज (Hexagon) = ऐसे 6 त्रिभुज।
Rectangle: (l + b)² = d² + 2A. Rhombus: (d₁ + d₂)² = 4a² + 4A.आयत (Rectangle): (l + b)² = d² + 2A। समचतुर्भुज (Rhombus): (d₁ + d₂)² = 4a² + 4A।
A path outside adds 2w to each dimension; a path inside takes 2w away.बाहर बना रास्ता हर विमा (लंबाई और चौड़ाई) में 2w जोड़ता है; अंदर बना रास्ता 2w घटाता है।
Square: area = d²2. The largest square inside a circle has area 2r².वर्ग (Square): क्षेत्रफल (Area) = d²2। वृत्त (Circle) के अंदर बनने वाले सबसे बड़े वर्ग का क्षेत्रफल 2r² है।
Semicircle perimeter = πr + 2r = 367r. Do not leave out the diameter.अर्धवृत्त (Semicircle) का परिमाप (Perimeter) = πr + 2r = 367r। व्यास (Diameter) को छोड़ना मत।
Ring = π(R + r)(R − r); difference of circumferences = 2π × width.वलय (Ring) = π(R + r)(R − r); परिधियों (Circumferences) का अंतर = 2π × चौड़ाई।
Sector = θ360° of the circle; area = 12lr; perimeter = l + 2r; θ (radian) = lr.त्रिज्यखंड (Sector) = वृत्त (Circle) का θ360° भाग; क्षेत्रफल (Area) = 12lr; परिमाप (Perimeter) = l + 2r; θ (रेडियन में) = lr।
Segment = sector − triangle. A chord equal to the radius subtends 60° at the centre.वृत्तखंड (Segment) = त्रिज्यखंड (Sector) − त्रिभुज। त्रिज्या (Radii) के बराबर जीवा (Chord) केंद्र पर 60° का कोण (Angle) बनाती है।
A wire bent into a new shape keeps its perimeter. For a fixed perimeter, the circle encloses the most area.तार को नई आकृति में मोड़ने पर परिमाप (Perimeter) वही रहता है। निश्चित परिमाप पर वृत्त (Circle) सबसे ज़्यादा क्षेत्रफल (Area) घेरता है।
The perpendicular from the centre bisects a chord, so (c2)² + d² = r². Look for a triplet first.केंद्र से डाला गया लंब (Perpendicular) जीवा (Chord) को समद्विभाजित करता है, इसलिए (c2)² + d² = r²। पहले त्रिक ढूँढो।
Rhombus: always use half-diagonals. side² = (d₁2)² + (d₂2)², area = 12d₁d₂.समचतुर्भुज (Rhombus): हमेशा आधे विकर्ण (Diagonals) लो। भुजा (Side)² = (d₁2)² + (d₂2)², क्षेत्रफल (Area) = 12d₁d₂।
Wheel: distance = revolutions × 2πr; gears: n₁d₁ = n₂d₂; one revolution = 2π radians.पहिया: दूरी = चक्कर × 2πr; गियर: n₁d₁ = n₂d₂; एक चक्कर = 2π radian।
Same perimeter: circle area : square area = 4 : π, which is 14 : 11 with π = 227.समान परिमाप (Perimeter) पर वृत्त (Circle) का क्षेत्रफल (Area) : वर्ग (Square) का क्षेत्रफल = 4 : π, यानी π = 227 लेने पर 14 : 11।
For a room, subtract doors and windows from the four walls only, never from the ceiling.कमरे में दरवाज़े और खिड़कियाँ सिर्फ़ चारों दीवारों में से घटाएँ, छत में से कभी नहीं।

Units and scaling

1 m² = 10,000 cm²; 1 km² = 10,00,000 m²; 1 hectare = 10,000 m²; 1 are = 100 m²1 m² = 10,000 cm²; 1 km² = 10,00,000 m²; 1 हेक्टेयर = 10,000 m²; 1 are = 100 m²
Every length × k ⇒ perimeter × k, area × k²हर लंबाई (Length) × k ⇒ परिमाप (Perimeter) × k, क्षेत्रफल (Area) × k²
Each length +x% ⇒ area change = 2x + x²100 %हर लंबाई (Length) +x% ⇒ क्षेत्रफल (Area) में परिवर्तन = 2x + x²100 %
Length +a%, breadth +b% ⇒ area change = a + b + ab100 %लंबाई +a%, चौड़ाई +b% ⇒ क्षेत्रफल (Area) में परिवर्तन = a + b + ab100 %
Similar figures: area ratio = (length ratio)²समरूप आकृतियाँ (Similar figures): क्षेत्रफलों (Area) का अनुपात (Ratio) = (लंबाइयों का अनुपात)²

Triangles

Area = 12 × base × height = 12ab sin Cक्षेत्रफल (Area) = 12 × आधार × ऊँचाई = 12ab sin C
Heron: s = a + b + c2, Area = √s(s − a)(s − b)(s − c)हीरोन सूत्र (Heron's formula): s = a + b + c2, क्षेत्रफल (Area) = √s(s − a)(s − b)(s − c)
Height on side a = 2 × Areaaभुजा (Side) a पर ऊँचाई (Height) = 2 × क्षेत्रफलa
Inradius r = Areas; circumradius R = abc4 × Areaअंतःत्रिज्या (Inradius) r = क्षेत्रफलs; परित्रिज्या (Circumradius) R = abc4 × क्षेत्रफल
Right triangle: Area = 12pb, altitude on hypotenuse = pbh, R = h2, r = p + b − h2समकोण (Right angle) त्रिभुज (Right-angled triangle): क्षेत्रफल (Area) = 12pb, कर्ण (Hypotenuse) पर शीर्षलंब (Altitude) = pbh, R = h2, r = p + b − h2
Isosceles (equal sides a, base b): h = √a² − b²4, Area = b4√4a² − b²समद्विबाहु (Isosceles) त्रिभुज (बराबर भुजाएँ (Side) a, आधार b): h = √a² − b²4, क्षेत्रफल (Area) = b4√4a² − b²
Isosceles right triangle (legs a): hypotenuse = a√2, Area = a²2, perimeter = a(2 + √2)समद्विबाहु (Isosceles) समकोण (Right angle) त्रिभुज (बराबर भुजाएँ (Side) a): कर्ण (Hypotenuse) = a√2, क्षेत्रफल (Area) = a²2, परिमाप (Perimeter) = a(2 + √2)
Equilateral (side a): h = √32a, Area = √34a² = h²√3, r = a2√3, R = a√3समबाहु (Equilateral) त्रिभुज (भुजा (Side) a): h = √32a, क्षेत्रफल (Area) = √34a² = h²√3, r = a2√3, R = a√3
Useful Heron triangles: (5, 5, 6) → 12; (5, 5, 8) → 12; (13, 13, 10) → 60; (13, 14, 15) → 84; (9, 10, 17) → 36हीरोन सूत्र (Formulae) वाले काम के त्रिभुज (Triangle): (5, 5, 6) → 12; (5, 5, 8) → 12; (13, 13, 10) → 60; (13, 14, 15) → 84; (9, 10, 17) → 36

Quadrilaterals

Any quadrilateral: Area = 12 × d × (h₁ + h₂); perpendicular diagonals ⇒ 12d₁d₂कोई भी चतुर्भुज (Quadrilateral): क्षेत्रफल (Area) = 12 × d × (h₁ + h₂); विकर्ण (Diagonal) एक-दूसरे पर लंब (Perpendicular) हों ⇒ 12d₁d₂
Rectangle: P = 2(l + b), A = lb, d = √l² + b², (l + b)² = d² + 2Aआयत (Rectangle): P = 2(l + b), A = lb, d = √l² + b², (l + b)² = d² + 2A
Path outside a rectangle: 2w(l + b + 2w); inside: 2w(l + b − 2w); cross roads: w(l + b) − w²आयत (Rectangle) के बाहर रास्ता: 2w(l + b + 2w); अंदर: 2w(l + b − 2w); एक-दूसरे को काटती सड़कें: w(l + b) − w²
Square: P = 4a, A = a² = d²2, d = a√2; path outside 4w(a + w), inside 4w(a − w)वर्ग (Square): P = 4a, A = a² = d²2, d = a√2; बाहर रास्ता 4w(a + w), अंदर 4w(a − w)
Parallelogram: A = b × h = ab sin θ; d₁² + d₂² = 2(a² + b²)समांतर (Parallel) चतुर्भुज (Parallelogram): A = b × h = ab sin θ; d₁² + d₂² = 2(a² + b²)
Trapezium: A = 12(a + b)h = midline × h; isosceles: (slant side)² = h² + (b − a2)²समलंब चतुर्भुज (Trapezium): A = 12(a + b)h = मध्य-रेखा (Line) × h; समद्विबाहु (Isosceles): (तिरछी भुजा (Side))² = h² + (b − a2)²
Rhombus: A = 12d₁d₂ = a × h = a² sin θ; 4a² = d₁² + d₂²; (d₁ + d₂)² = 4a² + 4Aसमचतुर्भुज (Rhombus): A = 12d₁d₂ = a × h = a² sin θ; 4a² = d₁² + d₂²; (d₁ + d₂)² = 4a² + 4A
Midpoints of any quadrilateral form a parallelogram of half the areaकिसी भी चतुर्भुज की भुजाओं (Side) के मध्य-बिंदु (Midpoint) जोड़ने पर आधे क्षेत्रफल (Area) वाला समांतर चतुर्भुज (Parallelogram) बनता है

Circle and its parts

Circle: C = 2πr, A = πr² = C²4π, AC = r2वृत्त (Circle): C = 2πr, A = πr² = C²4π, AC = r2
Wheel: distance = revolutions × 2πr; gears: n₁d₁ = n₂d₂पहिया: दूरी = चक्कर × 2πr; गियर: n₁d₁ = n₂d₂
Semicircle: A = 12πr², P = πr + 2r = 367r; quadrant: A = 14πr², P = πr2 + 2r = 257rअर्धवृत्त (Semicircle): A = 12πr², P = πr + 2r = 367r; चतुर्थांश (Quadrant): A = 14πr², P = πr2 + 2r = 257r
Ring: A = π(R² − r²) = π(R + r)(R − r); width = outer circumference − inner circumference2πवलय (Ring): A = π(R² − r²) = π(R + r)(R − r); चौड़ाई = बाहरी परिधि − भीतरी परिधि2π
Chord: (c2)² + d² = r²; chord = 2r sin θ2जीवा (Chord): (c2)² + d² = r²; जीवा = 2r sin θ2
Sector: l = θ360° × 2πr = rθ, A = θ360° × πr² = 12lr, P = l + 2rत्रिज्यखंड (Sector): l = θ360° × 2πr = rθ, A = θ360° × πr² = 12lr, P = l + 2r
Minor segment = θ360°πr² − 12r² sin θ; major segment = πr² − minorलघु वृत्तखंड (Minor segment) = θ360°πr² − 12r² sin θ; दीर्घ वृत्तखंड = πr² − लघु वृत्तखंड
π rad = 180°, 1 rad ≈ 57.3°

Inscribed figures and polygons

Circle in square: r = a2; square in circle: side = r√2, area = 2r²; rectangle in circle: diagonal = 2rवर्ग में वृत्त (Circle): r = a2; वृत्त में वर्ग: भुजा (Side) = r√2, क्षेत्रफल (Area) = 2r²; वृत्त में आयत (Rectangle): विकर्ण (Diagonal) = 2r
Same perimeter: circle area : square area = 4 : πसमान परिमाप (Perimeter): वृत्त (Circle) का क्षेत्रफल (Area) : वर्ग का क्षेत्रफल = 4 : π
Regular n-gon: exterior angle = 360°n, interior = 180° − 360°n, diagonals = n(n − 3)2n भुजाओं (Side) वाला सम बहुभुज (Regular polygon): बाह्य कोण (Exterior angle) = 360°n, अंतः कोण (Interior angle) = 180° − 360°n, विकर्ण (Diagonal) = n(n − 3)2
Hexagon: area = 3√32a², side = circumradius; octagon: area = 2(1 + √2)a²सम षट्भुज (Hexagon): क्षेत्रफल (Area) = 3√32a², भुजा (Side) = परित्रिज्या; सम अष्टभुज: क्षेत्रफल = 2(1 + √2)a²
n-gon in a circle of radius R: side = 2R sin 180°nR त्रिज्या (Radii) वाले वृत्त (Circle) में n भुजाओं वाला सम बहुभुज (Regular polygon): भुजा (Side) = 2R sin 180°n

Standard values

π ≈ 227 ≈ 3.14; √2 ≈ 1.414; √3 ≈ 1.732; √34 ≈ 0.433; 3√32 ≈ 2.598
r = 7, 14, 21, 28, 35 ⇒ C = 44, 88, 132, 176, 220 and A = 154, 616, 1386, 2464, 3850r = 7, 14, 21, 28, 35 ⇒ C = 44, 88, 132, 176, 220 और A = 154, 616, 1386, 2464, 3850
Triplets: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (20, 21, 29), (9, 40, 41), (12, 35, 37), (11, 60, 61)त्रिक (Triplets): (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (20, 21, 29), (9, 40, 41), (12, 35, 37), (11, 60, 61)

Rooms, fences and plots

Four walls of a room = 2(l + b) × h, minus doors and windows; ceiling = l × bकमरे की चारों दीवारें = 2(l + b) × h, दरवाज़े-खिड़कियाँ घटाकर; छत = l × b
Closed boundary: posts = perimeter ÷ gap; wire = rounds × perimeterबंद सीमा: खंभे = परिमाप (Perimeter) ÷ अंतराल; तार = फेरे × परिमाप
Trapezium plot: cost of land = 12(a + b)h × rate; cost of fence = perimeter × rateसमलंब भूखंड: ज़मीन की कीमत = 12(a + b)h × दर; बाड़ की लागत = परिमाप (Perimeter) × दर

27. Mensuration 3D Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

Bring all lengths to one unit before multiplying; 1 m³ = 1000 L.गुणा करने से पहले सारी लंबाइयाँ (Lengths) एक इकाई में लाओ; 1 m³ = 1000 L।
Read which surfaces are covered: four walls, open box, tent (no floor), dome (no base).पढ़ें कि कौन-सी सतहें ढकी जा रही हैं: चार दीवारें, खुला डिब्बा, तंबू (फ़र्श नहीं), गुंबद (आधार नहीं)।
Cuboid: (l + b + h)² = d² + TSA; three faces x, y, z ⇒ V = √(xyz).घनाभ (Cuboid): (l + b + h)² = d² + TSA; तीन आसन्न फलक x, y, z ⇒ V = √(xyz)।
Prism = base × height; pyramid and cone = one-third of their prism and cylinder.प्रिज़्म = आधार × ऊँचाई (Height); पिरामिड और शंकु (Cone) अपने प्रिज़्म और बेलन (Cylinder) का एक-तिहाई होते हैं।
Slant heights usually come from triplets: (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (20, 21, 29).तिर्यक ऊँचाइयाँ (Slant heights) अक्सर त्रिकों से आती हैं: (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (20, 21, 29)।
LSA of a pyramid uses the slant height, not the vertical height.पिरामिड के LSA में तिर्यक ऊँचाई (Slant height) लगती है, सीधी खड़ी ऊँचाई (Height) नहीं।
Pipe material = π(R + r)(R − r)h; factorise first.पाइप की धातु = π(R + r)(R − r)h; पहले गुणनखंड (Factors) बनाएँ।
Lengths × k ⇒ areas × k², volumes × k³; use factors for percentage changes.लंबाइयाँ (Lengths) × k ⇒ क्षेत्रफल (Areas) × k², आयतन (Volumes) × k³; प्रतिशत (Percentage) बदलाव में गुणनखंड (Factors) लगाएँ।
Cone cut parallel to the base: small cone = k³ of the whole; equal thirds give 1 : 7 : 19.आधार के समांतर (Parallel) कटा शंकु (Cone): छोटा शंकु = पूरे का k³; ऊँचाई के तीन बराबर भाग 1 : 7 : 19 देते हैं।
Hemisphere TSA = 3πr², not half of 4πr².अर्धगोले (Hemisphere) का TSA = 3πr², 4πr² का आधा नहीं।
Combined solids: add volumes, but count only the exposed surfaces.मिले-जुले ठोस: आयतन (Volumes) जोड़ें, लेकिन सिर्फ़ बाहर दिखने वाली सतहें गिनें।
Melting keeps the volume; similar solids give (length ratio)³ pieces.पिघलाने में आयतन (Volume) वही रहता है; समरूप ठोसों से (लंबाइयों का अनुपात (Ratio))³ टुकड़े बनते हैं।
Largest sphere in a cube: r = a2; cube in a sphere: a√3 = 2R.घन (Cube) में सबसे बड़ा गोला (Sphere): r = a2; गोले में घन: a√3 = 2R।
Water rise = volume of object ÷ base area; flow = area × speed × time.पानी में वृद्धि = वस्तु का आयतन (Volume) ÷ आधार का क्षेत्रफल (Area); बहाव = क्षेत्रफल × चाल (Speed) × समय।
Same r and h: cone = 13 of the cylinder; a sphere is 23 of the cylinder that just holds it; cone : hemisphere : cylinder with h = r is 1 : 2 : 3.वही r और h: शंकु (Cone) = बेलन (Cylinder) का 13; गोला (Sphere) उसे ठीक घेरने वाले बेलन का 23; h = r पर शंकु : अर्धगोला (Hemisphere) : बेलन = 1 : 2 : 3।
"Becomes 4 times" means an increase of 300%, not 400%; a volume factor of 1.08 means 8% up."4 गुना हो गया" का मतलब 300% की वृद्धि है, 400% नहीं; आयतन (Volume) गुणनखंड (Factor) 1.08 यानी 8% ज़्यादा।
A painted cube cut into n³ cubes has (n − 2)³ unpainted cubes inside; the number of cubes with exactly 2 painted faces is 12(n − 2).रंगे हुए घन को n³ घनों में काटने पर अंदर (n − 2)³ घन बिना रंग के होते हैं; ठीक 2 फलक रंगे घनों की संख्या 12(n − 2) होती है।

Units and basics

1 m³ = 10⁶ cm³ = 1000 litres = 1 kL; 1 litre = 1000 cm³; 1 mL = 1 cm³1 m³ = 10⁶ cm³ = 1000 लीटर = 1 kL; 1 लीटर = 1000 cm³; 1 mL = 1 cm³
1 m² = 10⁴ cm²; 1 ft = 12 in, 1 ft² = 144 in², 1 ft³ = 1728 in³
Euler (polyhedra): F + V − E = 2; mass = volume × densityबहुफलक, Polyhedra (Euler): F + V − E = 2; द्रव्यमान (Mass) = आयतन (Volume) × घनत्व (Density)
Lengths × k ⇒ areas × k², volumes × k³लंबाइयाँ (Lengths) × k ⇒ क्षेत्रफल (Areas) × k², आयतन (Volumes) × k³

Cuboid and cube

Cuboid: V = lbh, TSA = 2(lb + bh + hl), LSA = 2(l + b)h, d = √(l² + b² + h²)घनाभ (Cuboid): V = lbh, TSA = 2(lb + bh + hl), LSA = 2(l + b)h, d = √(l² + b² + h²)
(l + b + h)² = d² + TSA; edges sum = 4(l + b + h); faces x, y, z ⇒ V = √(xyz)(l + b + h)² = d² + TSA; किनारों (Edges) का योग = 4(l + b + h); फलक x, y, z ⇒ V = √(xyz)
Open box from L × B sheet, corner squares x: V = (L − 2x)(B − 2x)xL × B की चादर के कोनों से x भुजा (Side) के वर्ग काटकर खुला डिब्बा: V = (L − 2x)(B − 2x)x
Cube: V = a³, TSA = 6a², LSA = 4a², face diagonal a√2, body diagonal a√3घन (Cube): V = a³, TSA = 6a², LSA = 4a², फलक का विकर्ण (Diagonal) a√2, घन का विकर्ण a√3
n cubes in a row: TSA = (4n + 2)a²; cuts for n³ cubes = 3(n − 1)n घन (Cubes) एक कतार में: TSA = (4n + 2)a²; n³ घनों के लिए कटाव = 3(n − 1)

Prism, pyramid and tetrahedron

Prism: V = base area × h; LSA = base perimeter × h; TSA = LSA + 2 × baseप्रिज़्म (Prism): V = आधार का क्षेत्रफल (Area) × h; LSA = आधार का परिमाप (Perimeter) × h; TSA = LSA + 2 × आधार
Base areas: equilateral √34a², regular hexagon 3√32a², trapezium 12(a + b)dआधार के क्षेत्रफल (Area): समबाहु त्रिभुज (Equilateral triangle) √34a², सम षट्भुज (Hexagon) 3√32a², समलंब चतुर्भुज (Trapezium) 12(a + b)d
Pyramid: V = 13 × base × h; LSA = 12 × perimeter × l; TSA = LSA + baseपिरामिड (Pyramid): V = 13 × आधार × h; LSA = 12 × परिमाप (Perimeter) × l; TSA = LSA + आधार
Square pyramid: l² = h² + (a2)², LSA = 2al; lateral edge² = h² + a²2वर्ग आधार वाला पिरामिड: l² = h² + (a2)², LSA = 2al; (पार्श्व किनारा)² = h² + a²2
Regular tetrahedron: TSA = √3a², V = √212a³, height = a√(23), circumradius = a√64सम चतुष्फलक (Regular tetrahedron): TSA = √3a², V = √212a³, ऊँचाई = a√(23), परित्रिज्या = a√64

Cylinder and hollow cylinder

V = πr²h; CSA = 2πrh; TSA = 2πr(r + h); r = 2VCSA
Hollow: V = π(R² − r²)h; TSA = 2πRh + 2πrh + 2π(R² − r²)खोखला बेलन (Cylinder): V = π(R² − r²)h; TSA = 2πRh + 2πrh + 2π(R² − r²)
Roller: area = CSA × revolutions; rolled sheet: rolled edge = 2πrRoller: क्षेत्रफल (Area) = CSA × चक्कर; मोड़ी गई चादर: गोल घूमने वाला किनारा = 2πr

Cone and frustum

l = √(r² + h²); V = 13πr²h; CSA = πrl; TSA = πr(l + r)
Sector (R, θ) into cone: l = R, r = θ360RR त्रिज्या (Radii) और θ कोण (Angle) वाले त्रिज्यखंड (Sector) से शंकु (Cone): l = R, r = θ360R
Cut parallel to base, height ratio k: volume k³, CSA k²आधार के समांतर (Parallel) कटाव, ऊँचाइयों का अनुपात (Ratio) k: आयतन (Volume) k³, CSA k²
Frustum: V = 13πh(R² + r² + Rr), CSA = π(R + r)l, l = √(h² + (R − r)²)छिन्नक (Frustum): V = 13πh(R² + r² + Rr), CSA = π(R + r)l, l = √(h² + (R − r)²)
Pyramid frustum: V = h3(A₁ + A₂ + √(A₁A₂))पिरामिड का छिन्नक (Frustum): V = h3(A₁ + A₂ + √(A₁A₂))

Sphere and hemisphere

Sphere: SA = 4πr², V = 43πr³; shell V = 43π(R³ − r³)गोला (Sphere): SA = 4πr², V = 43πr³; गोलीय कोश V = 43π(R³ − r³)
Hemisphere: V = 23πr³, CSA = 2πr², TSA = 3πr²अर्धगोला (Hemisphere): V = 23πr³, CSA = 2πr², TSA = 3πr²
Bowl: material 23π(R³ − r³); whole surface 2πR² + 2πr² + π(R² − r²)कटोरा: धातु 23π(R³ − r³); पूरी सतह 2πR² + 2πr² + π(R² − r²)
Sphere cut into 2 hemispheres: TSA + 50%; sphere = 23 of its circumscribing cylinderगोले (Sphere) को 2 अर्धगोलों (Hemispheres) में काटना: TSA + 50%; गोला = उसे घेरने वाले बेलन (Cylinder) का 23

Melting, inscribed solids and water

Melting: volume conserved; number = V(big)V(small); wire: πr²L = Vपिघलाना: आयतन (Volume) वही; संख्या = V(बड़ा)V(छोटा); तार: πr²L = V
Sphere in cube r = a2; cube in sphere a√3 = 2R; cone in cube r = a2, h = aघन (Cube) में गोला (Sphere) r = a2; गोले में घन a√3 = 2R; घन में शंकु (Cone) r = a2, h = a
Sphere touching base and slant of a cone: radius = rhr + lशंकु (Cone) के आधार और तिर्यक सतह को छूता गोला (Sphere): त्रिज्या (Radius) = rhr + l
Rise in water = V(object)base area; flow = area × speed × timeपानी में वृद्धि = V(वस्तु)आधार का क्षेत्रफल; बहाव = क्षेत्रफल (Area) × चाल (Speed) × समय

Rooms, bricks and painted cubes

Four walls = 2(l + b)h; persons = l × b × hair per person; bricks = wall volumebrick volumeचारों दीवारें = 2(l + b)h; व्यक्ति = l × b × hप्रति व्यक्ति हवा; ईंटें = दीवार का आयतनईंट का आयतन
Open tank: sheet = lb + 2(l + b)hखुली टंकी: चादर = lb + 2(l + b)h
Painted cube cut into n³ cubes: 3 faces = 8, 2 faces = 12(n − 2), 1 face = 6(n − 2)², 0 faces = (n − 2)³रंगा हुआ घन n³ घनों में कटा: 3 फलक = 8, 2 फलक = 12(n − 2), 1 फलक = 6(n − 2)², 0 फलक = (n − 2)³
Cone from a sector (R, θ): l = R, r = θ360 × R; corner cube removed: surface area unchangedत्रिज्यखंड (R, θ) से शंकु (Cone): l = R, r = θ360 × R; कोने से घन निकालने पर पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface area) वही

28. Coordinate Geometry Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

Make a rough sketch first. It shows the sign of the slope, the quadrant and any right angle.पहले कच्चा चित्र बनाएँ। उससे ढाल (Slope) का चिह्न, चतुर्थांश (Quadrant) और समकोण (Right angle) दिख जाते हैं।
A point lies on a line only if it satisfies the equation; “all of the above” is often the answer, so check every point.बिंदु (Point) रेखा (Line) पर तभी है जब वह समीकरण (Equation) को संतुष्ट करे; "उपरोक्त सभी" कई बार सही उत्तर होता है, इसलिए हर बिंदु जाँचें।
Distance from the x-axis is |y|, from the y-axis is |x|.x-अक्ष (x-axis) से दूरी (Distance) |y| है, और y-अक्ष (y-axis) से |x|।
Distance formula = Pythagoras on graph paper; look for 3–4–5, 5–12–13, 8–15–17, 20–21–29.दूरी सूत्र (Distance formula) = graph paper पर पाइथागोरस; 3–4–5, 5–12–13, 8–15–17, 20–21–29 जैसे त्रिक ढूँढो।
Centroid = average of three vertices; third vertex = 3G − (other two).केन्द्रक (Centroid) = तीन शीर्षों (Vertices) का औसत (Average); तीसरा शीर्ष (Vertex) = 3G − (बाकी दोनों)।
Right triangle: circumcentre at the midpoint of the hypotenuse, orthocentre at the right-angled vertex.समकोण (Right angle) त्रिभुज (Right-angled triangle): परिकेंद्र (Circumcentre) कर्ण (Hypotenuse) के मध्य-बिंदु (Midpoint) पर, लंबकेंद्र (Orthocentre) समकोण वाले शीर्ष पर।
Euler line: G = H + 2O3, O = 3G − H2.ऑयलर रेखा (Euler line): G = H + 2O3, O = 3G − H2।
Area: shift one vertex to the origin, then 12|x₁y₂ − x₂y₁|; collinear means area 0.क्षेत्रफल (Area): एक शीर्ष (Vertex) को मूल बिंदु (Origin) पर खिसकाओ, फिर 12|x₁y₂ − x₂y₁| लगाएँ; संरेख (Collinear) का अर्थ है क्षेत्रफल 0।
Slope of ax + by = c is −ab: same signs ⇒ negative slope, opposite signs ⇒ positive slope.ax + by = c का ढाल (Slope) −ab है: चिह्न एक जैसे ⇒ ढाल ऋणात्मक, चिह्न उल्टे ⇒ ढाल धनात्मक।
For equation options, put the given points in each option instead of deriving.समीकरण (Equation) वाले विकल्पों में समीकरण निकालने की जगह दिए गए बिंदु (Point) हर विकल्प में रखकर जाँचें।
x-intercept: put y = 0; y-intercept: put x = 0; an x-intercept point always looks like (a, 0).x-अंतःखंड (x-intercept): y = 0 रखें; y-अंतःखंड: x = 0 रखें; x-अंतःखंड वाला बिंदु (Point) हमेशा (a, 0) जैसा होता है।
Parallel: keep ax + by, change the constant. Perpendicular: swap a and b and change one sign.समांतर (Parallel): ax + by वैसा ही रखें, अचर पद बदलें। लंब (Perpendicular): a और b की जगह बदलें और एक चिह्न बदलें।
Perpendicular bisector = through the midpoint, with the negative reciprocal of the slope of AB.लंब समद्विभाजक (Perpendicular bisector) = मध्य-बिंदु (Midpoint) से होकर, AB के ढाल (Slope) के ऋणात्मक व्युत्क्रम (Negative reciprocal) वाले ढाल के साथ।
Equal ratios a₁a₂ = b₁b₂: parallel if the constants differ in ratio, coincident if they match.a₁a₂ = b₁b₂ हो तो: अचर पदों का अनुपात (Ratio) अलग हो तो रेखाएँ (Line) समांतर (Parallel), वही हो तो संपाती (Coincident)।
Perpendicular distance from the origin = |pq|√p² + q²; a tangent's distance from the centre equals the radius.मूल बिंदु (Origin) से लंब (Perpendicular) दूरी = |pq|√p² + q²; स्पर्श रेखा (Tangent) की केंद्र से दूरी = त्रिज्या (Radius)।
Intercepts p and q: length between the axes = √p² + q², area with the axes = 12|pq|. Look for a triplet.अंतःखंड (Intercepts) p और q: अक्षों के बीच की लंबाई (Length) = √p² + q², अक्षों के साथ क्षेत्रफल (Area) = 12|pq|। त्रिक ढूँढो।
Area between two lines and the x-axis = 12 × (gap between the x-intercepts) × |y of the intersection point|.दो रेखाओं (Lines) और x-अक्ष (x-axis) के बीच का क्षेत्रफल (Area) = 12 × (x-अंतःखंडों (Intercept) के बीच का अंतर) × |प्रतिच्छेद बिंदु (Point) का y|।
Distance from a line: first write it as ax + by + c = 0, then d = |ax₁ + by₁ + c|√a² + b².रेखा (Line) से दूरी: पहले रेखा को ax + by + c = 0 के रूप में लिखें, फिर d = |ax₁ + by₁ + c|√a² + b²।
Circle (x − h)² + (y − k)² = r²: the centre is (h, k), with the signs flipped from the brackets, and the radius = √right side.वृत्त (Circle) (x − h)² + (y − k)² = r²: केंद्र (h, k) है, यानी कोष्ठक वाले चिह्न उलट जाते हैं, और त्रिज्या (Radius) = √दायाँ पक्ष।

Points, axes and reflection

Quadrant signs: I (+, +), II (−, +), III (−, −), IV (+, −); on x-axis (a, 0), on y-axis (0, b)चतुर्थांशों (Quadrants) के चिह्न: I (+, +), II (−, +), III (−, −), IV (+, −); x-अक्ष (x-axis) पर (a, 0), y-अक्ष (y-axis) पर (0, b)
Distance of (x, y) from x-axis = |y|, from y-axis = |x|, from origin = √x² + y²(x, y) की x-अक्ष (x-axis) से दूरी (Distance) = |y|, y-अक्ष (y-axis) से = |x|, मूल बिंदु (Origin) से = √x² + y²
x-axis: y = 0; y-axis: x = 0; parallel to x-axis: y = b; parallel to y-axis: x = ax-अक्ष (x-axis): y = 0; y-अक्ष (y-axis): x = 0; x-अक्ष के समांतर (Parallel): y = b; y-अक्ष के समांतर: x = a
Image of (x, y): x-axis (x, −y); y-axis (−x, y); origin (−x, −y); y = x (y, x); y = −x (−y, −x)(x, y) का प्रतिबिंब (Image): x-अक्ष (x-axis) में (x, −y); y-अक्ष (y-axis) में (−x, y); मूल बिंदु (Origin) में (−x, −y); y = x में (y, x); y = −x में (−y, −x)
Reflecting a line in x-axis: y → −y; in y-axis: x → −xरेखा (Line) का x-अक्ष (x-axis) में परावर्तन (Reflection): y → −y; y-अक्ष (y-axis) में: x → −x

Distance and section formula

AB = √(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²
Midpoint = (x₁ + x₂2, y₁ + y₂2)मध्य-बिंदु (Midpoint) = (x₁ + x₂2, y₁ + y₂2)
Internal m : n: (mx₂ + nx₁m + n, my₂ + ny₁m + n); external: (mx₂ − nx₁m − n, my₂ − ny₁m − n)अंतःविभाजन (Internal division) m : n: (mx₂ + nx₁m + n, my₂ + ny₁m + n); बाह्य विभाजन (External division): (mx₂ − nx₁m − n, my₂ − ny₁m − n)
x-axis divides AB in −y₁ : y₂; y-axis in −x₁ : x₂x-अक्ष (x-axis) AB को −y₁ : y₂ में बाँटता है; y-अक्ष (y-axis) −x₁ : x₂ में

Centres of a triangle

Centroid G = (x₁ + x₂ + x₃3, y₁ + y₂ + y₃3); third vertex = 3G − (sum of other two)केन्द्रक (Centroid) G = (x₁ + x₂ + x₃3, y₁ + y₂ + y₃3); तीसरा शीर्ष (Vertex) = 3G − (बाकी दोनों का जोड़)
G divides each median 2 : 1 from the vertex; AG = 23 ADG हर माध्यिका (Median) को शीर्ष (Vertex) की ओर से 2 : 1 में बाँटता है; AG = 23 AD
Right triangle: circumcentre = midpoint of hypotenuse; orthocentre = right-angled vertexसमकोण (Right angle) त्रिभुज (Right-angled triangle): परिकेंद्र (Circumcentre) = कर्ण (Hypotenuse) का मध्य-बिंदु (Midpoint); लंबकेंद्र (Orthocentre) = समकोण वाला शीर्ष (Vertex)
Incentre = (ax₁ + bx₂ + cx₃a + b + c, ay₁ + by₂ + cy₃a + b + c); inradius = ⊥ distance from I to a sideअंतःकेंद्र (Incentre) = (ax₁ + bx₂ + cx₃a + b + c, ay₁ + by₂ + cy₃a + b + c); अंतःत्रिज्या (Inradius) = I से किसी भुजा (Side) तक ⊥ दूरी
Euler line: HG : GO = 2 : 1; G = H + 2O3, O = 3G − H2, H = 3G − 2O; equilateral: all centres coincideऑयलर रेखा (Euler line): HG : GO = 2 : 1; G = H + 2O3, O = 3G − H2, H = 3G − 2O; समबाहु त्रिभुज (Equilateral triangle) में सारे केंद्र एक ही बिंदु (Point) पर

Area and collinearity

Area of △ = 12 |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|△ का क्षेत्रफल (Area) = 12 |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|
With a vertex at the origin: 12 |x₁y₂ − x₂y₁|एक शीर्ष (Vertex) मूल बिंदु (Origin) पर: 12 |x₁y₂ − x₂y₁|
Polygon (vertices in order): 12 |Σ x_iy_i+1 − Σ y_ix_i+1|बहुभुज (Polygon) (शीर्ष क्रम से): 12 |Σ x_iy_i+1 − Σ y_ix_i+1|
Collinear ⇔ area = 0 ⇔ equal slopesसंरेख (Collinear) ⇔ क्षेत्रफल (Area) = 0 ⇔ ढाल (Slopes) बराबर

Slope and equations of a line

m = y₂ − y₁x₂ − x₁ = tan θ; horizontal m = 0, vertical: not definedm = y₂ − y₁x₂ − x₁ = tan θ; क्षैतिज रेखा (Line) m = 0, ऊर्ध्वाधर रेखा: ढाल (Slope) परिभाषित नहीं
ax + by + c = 0 ⇒ m = −ab; intercepts p, q ⇒ m = −qpax + by + c = 0 ⇒ m = −ab; अंतःखंड (Intercepts) p, q ⇒ m = −qp
y = mx + c; y − y₁ = m(x − x₁); y − y₁ = y₂ − y₁x₂ − x₁(x − x₁); xa + yb = 1
Angle between lines: tan θ = |m₁ − m₂1 + m₁m₂|रेखाओं (Lines) के बीच कोण (Angle): tan θ = |m₁ − m₂1 + m₁m₂|

Intercepts

ax + by = c: x-intercept ca, y-intercept cbax + by = c: x-अंतःखंड (x-intercept) ca, y-अंतःखंड cb
Length between axes = √p² + q²; area with axes = 12|pq|अक्षों के बीच की लंबाई (Length) = √p² + q²; अक्षों के साथ क्षेत्रफल (Area) = 12|pq|
|x| + |y| = k: square, area 2k²|x| + |y| = k: वर्ग (Square), क्षेत्रफल (Area) 2k²

Parallel, perpendicular, intersection

Parallel: m₁ = m₂, a₁a₂ = b₁b₂; family ax + by + k = 0समांतर (Parallel): m₁ = m₂, a₁a₂ = b₁b₂; ऐसी सभी रेखाएँ (Line) ax + by + k = 0
Perpendicular: m₁m₂ = −1, a₁a₂ + b₁b₂ = 0; family bx − ay + k = 0लंब (Perpendicular): m₁m₂ = −1, a₁a₂ + b₁b₂ = 0; ऐसी सभी रेखाएँ (Line) bx − ay + k = 0
Perpendicular bisector of AB: through midpoint, slope −1m_ABAB का लंब समद्विभाजक (Perpendicular bisector): मध्य-बिंदु (Midpoint) से, ढाल (Slope) −1m_AB
a₁a₂ ≠ b₁b₂: intersect; = ≠ c₁c₂: parallel; all equal: coincidenta₁a₂ ≠ b₁b₂: प्रतिच्छेदी (Intersecting); a₁a₂ = b₁b₂ ≠ c₁c₂: समांतर (Parallel); तीनों बराबर: संपाती (Coincident)

Perpendicular distance and circle

d = |ax₁ + by₁ + c|√a² + b²; from origin |c|√a² + b² = |pq|√p² + q²d = |ax₁ + by₁ + c|√a² + b²; मूल बिंदु (Origin) से |c|√a² + b² = |pq|√p² + q²
Between parallel lines: |c₁ − c₂|√a² + b²समांतर रेखाओं (Parallel lines) के बीच: |c₁ − c₂|√a² + b²
Circle (x − h)² + (y − k)² = r²; x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0: centre (−g, −f), r = √g² + f² − cवृत्त (Circle) (x − h)² + (y − k)² = r²; x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0: केंद्र (−g, −f), r = √g² + f² − c
Tangent: radius = ⊥ distance of centre from the line; sphere: (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r²स्पर्श रेखा (Tangent): त्रिज्या (Radius) = केंद्र की रेखा (Line) से ⊥ दूरी; गोला (Sphere): (x − a)² + (y − b)² + (z − c)² = r²

29. Trigonometry Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

Name P and B for the angle that is asked, never from the drawing alone.P और B हमेशा पूछे गए कोण (Angle) के हिसाब से तय करें, सिर्फ़ चित्र देखकर नहीं।
π radians = 180°; 1 radian ≈ 57.3°.π radians = 180°; 1 radian ≈ 57.3°।
One ratio given → make the triangle with a triplet → read any ratio.एक अनुपात (Ratio) दिया है → triplet से त्रिभुज (Triangle) बनाएँ → कोई भी अनुपात पढ़ लें।
For a sin θ + b cos θc sin θ + d cos θ, divide by cos θ and put tan θ.a sin θ + b cos θc sin θ + d cos θ जैसे भिन्न (Fraction) में ऊपर-नीचे cos θ से भाग दो और tan θ का मान रख दें।
sin²θ + cos²θ = 1, sec²θ − tan²θ = 1, cosec²θ − cot²θ = 1: know them in all their forms.sin²θ + cos²θ = 1, sec²θ − tan²θ = 1, cosec²θ − cot²θ = 1, इन्हें इनके सारे रूपों में पहचानें।
If the answer is a number, put θ = 0° (only sin/cos, no sin θ in a denominator) or 45°; if two options give the same value, settle it with 30°.उत्तर कोई संख्या हो, तो θ = 0° रखें (जब सिर्फ़ sin/cos हों और हर (Denominator) में sin θ न हो) या 45° रखें; दो विकल्पों का मान एक जैसा आए, तो 30° रखकर फ़ैसला करें।
sec θ − tan θ = 1sec θ + tan θ; cosec θ − cot θ = 1cosec θ + cot θ.sec θ − tan θ = 1sec θ + tan θ; cosec θ − cot θ = 1cosec θ + cot θ।
tan θ + cot θ = k ⇒ tan²θ + cot²θ = k² − 2 and tan³θ + cot³θ = k³ − 3k.tan θ + cot θ = k ⇒ tan²θ + cot²θ = k² − 2 और tan³θ + cot³θ = k³ − 3k।
tan θ + cot θ = 2 means θ = 45°; then every power of tan θ is 1.tan θ + cot θ = 2 का मतलब θ = 45°; फिर tan θ की हर घात (Power) 1 है।
sin θ + sin²θ = 1 ⇒ cos²θ + cos⁴θ = 1.sin θ + sin²θ = 1 ⇒ cos²θ + cos⁴θ = 1।
Co-ratios on both sides (sin–cos, tan–cot, sec–cosec) ⇒ angles add to 90°; the same ratio on both sides ⇒ angles are equal.दोनों तरफ़ सह-अनुपात (Co-ratios) हों (sin–cos, tan–cot, sec–cosec), तो कोणों (Angles) का योग 90° होता है; दोनों तरफ़ एक ही अनुपात हो, तो कोण बराबर होते हैं।
In long products and sums, pair the angles adding to 90° first; tan 45° = 1 and sin²45° = 12 sit in the middle.लंबे गुणनफल (Products) और योग में पहले उन कोणों (Angles) की जोड़ी बनाएँ जिनका योग 90° है; बीच में tan 45° = 1 और sin²45° = 12 बचते हैं।
Max of a sin θ + b cos θ is √a² + b², not a + b.a sin θ + b cos θ का अधिकतम मान (Maximum value) √a² + b² है, a + b नहीं।
Beyond 90°: ASTC gives the sign; 90°/270° change the ratio, 180°/360° keep it.90° के बाद: चिह्न (Sign) ASTC से तय करें; 90°/270° पर अनुपात (Ratio) बदल जाता है, 180°/360° पर वही रहता है।
Angles that add up to or differ by 45° → use the tan(A ± B) results: (1 + tan A)(1 + tan B) = 2 when A + B = 45°.जिन कोणों (Angles) का योग या अंतर 45° हो, वहाँ tan(A ± B) से निकले परिणाम लगाएँ: A + B = 45° हो तो (1 + tan A)(1 + tan B) = 2।
sin θ + cos θ = k ⇒ sin θ cos θ = k² − 12 and (sin θ − cos θ)² = 2 − k².sin θ + cos θ = k ⇒ sin θ cos θ = k² − 12 और (sin θ − cos θ)² = 2 − k²।
In a quadratic in sin θ or cos θ, throw away any root outside −1 to 1 (and any negative root when θ is acute).sin θ या cos θ के द्विघात समीकरण (Quadratic equation) में −1 से 1 के बाहर वाला मूल (Root) छोड़ दें (और θ न्यूनकोण (Acute angle) हो तो ऋणात्मक मूल भी)।
When the question puts a condition on θ, do not value-put freely; first see what the condition fixes (45°, 90°, 0° or one ratio).जब प्रश्न θ पर कोई शर्त दे, तो मनमर्ज़ी से value-putting न करें; पहले देखें कि शर्त क्या तय करती है (45°, 90°, 0° या कोई एक अनुपात (Ratio))।
Minimum of a sin²θ + b cosec²θ (a, b > 0) is 2√ab only when a ≥ b; otherwise it is a + b.a sin²θ + b cosec²θ (a, b > 0) का न्यूनतम मान (Minimum value) 2√ab तभी है जब a ≥ b हो; वरना यह a + b होता है।
tan 15° = 2 − √3, tan 75° = 2 + √3, tan 22.5° = √2 − 1; sin 18° = (√5 − 1)/4, cos 36° = (√5 + 1)/4.tan 15° = 2 − √3, tan 75° = 2 + √3, tan 22.5° = √2 − 1; sin 18° = (√5 − 1)/4, cos 36° = (√5 + 1)/4।
For the angles of a triangle, A + B = 180° − C. Only the sine keeps its sign; cos and tan change it.त्रिभुज (Triangle) के कोणों (Angle) के लिए A + B = 180° − C। सिर्फ़ sine का चिह्न वही रहता है; cos और tan का बदल जाता है।

Ratios and basic relations

sin θ = PH, cos θ = BH, tan θ = PB, cot θ = BP, sec θ = HB, cosec θ = HP
sin θ · cosec θ = 1, cos θ · sec θ = 1, tan θ · cot θ = 1
tan θ = sin θcos θ, cot θ = cos θsin θ
Triplets: 3-4-5, 5-12-13, 7-24-25, 8-15-17, 9-40-41, 11-60-61, 12-35-37, 20-21-29, 28-45-53; (m² − n², 2mn, m² + n²)Triplets: 3-4-5, 5-12-13, 7-24-25, 8-15-17, 9-40-41, 11-60-61, 12-35-37, 20-21-29, 28-45-53; सामान्य रूप (m² − n², 2mn, m² + n²)

Angle measure

π radians = 180°; 1 rad ≈ 57.3° = 57°17′45″; 1° = π180 rad
Degree → radian: × π180; radian → degree: × 180πDegree से radian: × π180; radian से degree: × 180π

Standard values

sin 0°, 30°, 45°, 60°, 90° = 0, 12, 1√2, √32, 1; cos: the same in reversesin 0°, 30°, 45°, 60°, 90° = 0, 12, 1√2, √32, 1; cos: यही उल्टे क्रम में
tan 0°, 30°, 45°, 60° = 0, 1√3, 1, √3; tan 90° not definedtan 0°, 30°, 45°, 60° = 0, 1√3, 1, √3; tan 90° अपरिभाषित है
sin 15° = √3 − 12√2, sin 75° = √3 + 12√2, tan 15° = 2 − √3, tan 75° = 2 + √3
0° → 90°: sin, tan, sec increase; cos, cot, cosec decrease0° → 90°: sin, tan, sec बढ़ते हैं; cos, cot, cosec घटते हैं

Identities and derived results

sin²θ + cos²θ = 1; sec²θ − tan²θ = 1; cosec²θ − cot²θ = 1
sin⁴θ + cos⁴θ = 1 − 2 sin²θ cos²θ; sin⁶θ + cos⁶θ = 1 − 3 sin²θ cos²θ; sin⁴θ − cos⁴θ = sin²θ − cos²θ
(sin θ ± cos θ)² = 1 ± 2 sin θ cos θ; tan θ + cot θ = sec θ cosec θ = 1sin θ cos θ
(1 + tan θ ± sec θ)(1 + cot θ ∓ cosec θ) = 2
x = a cos θ + b sin θ, y = a sin θ − b cos θ ⇒ x² + y² = a² + b²

Reciprocal pairs and root forms

sec θ + tan θ = k ⇒ sec θ − tan θ = 1k, sec θ = k² + 12k, tan θ = k² − 12k, sin θ = k² − 1k² + 1
cosec θ + cot θ = k ⇒ cosec θ − cot θ = 1k, cos θ = k² − 1k² + 1
√1 ± sin θ1 ∓ sin θ = sec θ ± tan θ; √1 ± cos θ1 ∓ cos θ = cosec θ ± cot θ

Special conditions

tan θ + cot θ = 2 ⇒ θ = 45°; sin θ + cosec θ = 2 ⇒ θ = 90°; cos θ + sec θ = 2 ⇒ θ = 0°
sin θ + sin²θ = 1 ⇒ cos²θ + cos⁴θ = 1; cos θ + cos²θ = 1 ⇒ sin²θ + sin⁴θ = 1
a sin²θ + b cos²θ = c ⇒ tan²θ = c − ba − c

Complementary and allied angles

sin(90° − θ) = cos θ, tan(90° − θ) = cot θ, sec(90° − θ) = cosec θ
sin A = cos B (or tan A = cot B, sec A = cosec B), A, B acute ⇒ A + B = 90°sin A = या tan A = cot B, sec A = cosec B (Cos B), A और B न्यूनकोण (Acute) ⇒ A + B = 90°
ASTC: I all +, II sin +, III tan +, IV cos +; 90°/270° change the ratio, 180°/360° keep itASTC: I सब +, II sin +, III tan +, IV cos +; 90°/270° पर अनुपात (Ratio) बदलता है, 180°/360° पर वही रहता है
sin(−θ) = −sin θ, cos(−θ) = cos θ, tan(−θ) = −tan θ

Maximum and minimum

−√a² + b² ≤ a sin θ + b cos θ ≤ √a² + b²
For a, b > 0: a tan²θ + b cot²θ ≥ 2√ab; a sin²θ + b cosec²θ ≥ 2√ab when a ≥ b, else ≥ a + ba, b > 0 हों तो: a tan²θ + b cot²θ ≥ 2√ab; a sin²θ + b cosec²θ ≥ 2√ab जब a ≥ b, वरना ≥ a + b
12 ≤ sin⁴θ + cos⁴θ ≤ 1; a sin²θ + b cos²θ lies between a and b12 ≤ sin⁴θ + cos⁴θ ≤ 1; a sin²θ + b cos²θ का मान a और b के बीच रहता है

Compound, double and triple angles

sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B; cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B; tan(A ± B) = tan A ± tan B1 ∓ tan A tan B
sin 2A = 2 sin A cos A = 2 tan A1 + tan²A; cos 2A = 2 cos²A − 1 = 1 − 2 sin²A = 1 − tan²A1 + tan²A; tan 2A = 2 tan A1 − tan²A
sin 3A = 3 sin A − 4 sin³A; cos 3A = 4 cos³A − 3 cos A; tan 3A = 3 tan A − tan³A1 − 3 tan²A
tan(45° + A) = 1 + tan A1 − tan A; A + B = 45° ⇒ (1 + tan A)(1 + tan B) = 2; A − B = 45° ⇒ tan A − tan B − tan A tan B = 1
cos(A + B) cos(A − B) = cos²A − sin²B; sin(A + B) sin(A − B) = sin²A − sin²B
2 sin A cos B = sin(A + B) + sin(A − B); 2 cos A cos B = cos(A + B) + cos(A − B); 2 sin A sin B = cos(A − B) − cos(A + B)

Less common angles

sin 15° = √6 − √24, cos 15° = √6 + √24, tan 15° = 2 − √3, tan 75° = 2 + √3
tan 22.5° = √2 − 1, cot 22.5° = √2 + 1
sin 18° = √5 − 14, cos 36° = √5 + 14
A + B + C = 180°: sin(A + B) = sin C, cos(A + B) = −cos C, tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C
Period of sin kθ, cos kθ = 360°k; of tan kθ, cot kθ = 180°ksin kθ, cos kθ का आवर्त = 360°k; tan kθ, cot kθ का आवर्त = 180°k

30. Height and Distance Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

Every figure is a right triangle standing on the ground; the right angle is at the foot of the object.हर चित्र (Figure) ज़मीन पर खड़ा एक समकोण (Right angle) त्रिभुज (Right triangle) है; समकोण वस्तु के निचले सिरे पर होता है।
Depression at the top = elevation at the ground point. Copy the angle down and solve normally.शीर्ष पर अवनमन कोण (Angle of depression) = ज़मीन वाले बिंदु (Point) पर उन्नयन कोण। कोण (Angle) नीचे उतारो और साधारण तरीके से हल करें।
Height and distance → tan; anything with the slant (string, ladder, rope, wire) → sin or cos.ऊँचाई (Height) और दूरी (Distance) → tan; तिरछी भुजा (डोरी, सीढ़ी, रस्सी, तार) वाली कोई भी बात → sin या cos।
30°: height : distance : slant = 1 : √3 : 2. 60°: √3 : 1 : 2. 45°: 1 : 1 : √2.30°: ऊँचाई (Height) : दूरी (Distance) : तिरछी भुजा (Side) = 1 : √3 : 2। 60°: √3 : 1 : 2। 45°: 1 : 1 : √2।
Bigger angle, bigger opposite side: at 30° the height is less than the distance, at 60° it is more.बड़ा कोण (Angle), सामने बड़ी भुजा (Side): 30° पर ऊँचाई (Height) दूरी (Distance) से कम होती है, 60° पर ज़्यादा।
Height = shadow means the sun is at 45°; at the same time height ÷ shadow is the same for all objects.ऊँचाई (Height) = परछाई (Shadow) का मतलब सूर्य 45° पर है; एक ही समय पर ऊँचाई ÷ परछाई सब चीज़ों के लिए समान होती है।
A given ratio like tan θ = 815 is the triangle 8 : 15 : 17; scale it.tan θ = 815 जैसा दिया गया अनुपात (Ratio) असल में 8 : 15 : 17 वाला त्रिभुज (Triangle) है; उसे scale करें।
A sliding ladder keeps its length; the slide of the foot = new base − old base.खिसकती सीढ़ी की लंबाई (Length) वही रहती है; पैर का खिसकना = नया आधार − पुराना आधार।
Same side: subtract the distances; opposite sides: add them.एक ही ओर: दूरियाँ (Distances) घटाएँ; विपरीत ओर: जोड़ें।
30° and 60° on the same side: the nearer line of sight equals the gap, and h = √32 × gap.एक ही ओर 30° और 60°: पास वाली दृष्टि रेखा (Line of sight) बीच की दूरी के बराबर होती है, और h = √32 × बीच की दूरी।
Complementary angles from a and b on the same side ⇒ h = √(ab).एक ही ओर a और b दूरी से पूरक कोण (Complementary angles) ⇒ h = √(ab)।
Two objects: the horizontal distance is common, so find it from the foot angle first.दो वस्तुएँ: क्षैतिज दूरी (Horizontal distance) साझी है, इसलिए पहले निचले सिरे वाले कोण (Angle) से उसे निकालें।
Moving objects: find the distance moved in units, convert, then divide by time; check km/h and m/s.चलती वस्तुएँ: चली हुई दूरी units में निकालें, मीटर में बदलें, फिर समय से भाग दो; km/h और m/s ध्यान से जाँचें।
Read the last line first: many long questions need only the first position.पहले प्रश्न की आखिरी पंक्ति पढ़ें: कई लंबे प्रश्नों में सिर्फ़ पहली स्थिति ही चाहिए होती है।
Broken tree: the original height = standing part + broken part; never mark only one of them.टूटा पेड़: मूल ऊँचाई (Height) = खड़ा हिस्सा + टूटा हिस्सा; उत्तर में सिर्फ़ एक हिस्सा कभी mark मत करना।
Observer's eye at height e: subtract e from the object first, solve the upper triangle, and add e back if the full height is asked.देखने वाले की आँख e ऊँचाई (Height) पर हो: पहले वस्तु की ऊँचाई में से e घटाएँ, ऊपर वाला त्रिभुज (Triangle) हल करें, और पूरी ऊँचाई पूछी हो तो e वापस जोड़ें।
Depressions 30° and 60° from a tower ⇒ the other object is 23 of the tower; elevation 60° and depression 30° from a pole ⇒ the tower is 4 times the pole.मीनार से अवनमन कोण (Angle of depression) 30° और 60° ⇒ दूसरी वस्तु मीनार की 23; खंभे से उन्नयन 60° और अवनमन 30° ⇒ मीनार खंभे की 4 गुनी।
If the question says "use √3 = 1.73", use exactly that value, because the options are made with it.अगर प्रश्न में "√3 = 1.73 लें" लिखा हो, तो बिल्कुल वही मान (Value) लो, क्योंकि विकल्प उसी से बने होते हैं।
A tree broken so that its top touches the ground at 30° broke at one-third of its height; the original height is the standing part plus the broken part.जो पेड़ ऐसे टूटे कि ऊपरी सिरा ज़मीन को 30° पर छुए, वह अपनी ऊँचाई के एक-तिहाई पर टूटा है; मूल ऊँचाई खड़े हिस्से और टूटे हिस्से का योग होती है।

Basics and standard values

Angle of depression from A to C = angle of elevation from C to A (alternate angles)A से C का अवनमन कोण (Angle of depression) = C से A का उन्नयन कोण (Angle of elevation) (एकांतर कोण, एकांतर कोण (Alternate angles))
tan θ = heightdistance, sin θ = heightslant, cos θ = distanceslanttan θ = ऊँचाईदूरी, sin θ = ऊँचाईतिरछी भुजा, cos θ = दूरीतिरछी भुजा
tan 30° = 1√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3; sin 30° = cos 60° = 12; sin 45° = cos 45° = 1√2
tan 15° = 2 − √3, tan 75° = 2 + √3; √3 ≈ 1.732, √2 ≈ 1.414, 1√3 ≈ 0.577

Side ratios

30°–60°–90°: 1 : √3 : 2 (sides opposite 30°, 60°, 90°)30°–60°–90°: 1 : √3 : 2 (30°, 60°, 90° के सामने वाली भुजाएँ (Sides))
45°–45°–90°: 1 : 1 : √2
15°–75°–90°: (√3 − 1) : (√3 + 1) : 2√2; 30°–30°–120°: 1 : 1 : √3
Triplets: 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 9-40-41, 20-21-29त्रिक (Triplets): 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 9-40-41, 20-21-29

One object, one angle

h = d tan θ, d = h cot θ, slant = hsin θ = dcos θh = d tan θ, d = h cot θ, तिरछी भुजा (Side) = hsin θ = dcos θ
Broken tree: original height = standing part + broken partटूटा पेड़: मूल ऊँचाई (Height) = खड़ा हिस्सा + टूटा हिस्सा
Observer's eye at height e: use (H − e) in the triangle, add e back at the endदेखने वाले की आँख e ऊँचाई (Height) पर: त्रिभुज (Triangle) में (H − e) लो, अंत में e वापस जोड़ें

Shadows, similar triangles, ladder

tan (sun's elevation) = heightshadow; at the same time H₁S₁ = H₂S₂सूर्य का उन्नयन कोण (Tan) = ऊँचाईपरछाई; एक ही समय पर H₁S₁ = H₂S₂
Mirror on the ground: Hd_object = h_eyed_manज़मीन पर दर्पण (Mirror): Hd_object = h_eyed_man
Ladder: l² = h² + b²; height = l sin θ, foot = l cos θ; length unchanged when it slidesसीढ़ी: l² = h² + b²; ऊँचाई (Height) = l sin θ, पैर की दूरी = l cos θ; खिसकने पर लंबाई (Length) वही रहती है
Ladder turned across a street (same foot): width = √(l² − h₁²) + √(l² − h₂²)सड़क के पार घुमाई गई सीढ़ी (पैर उसी जगह): चौड़ाई = √(l² − h₁²) + √(l² − h₂²)

Two angles

Same side, gap d: h = dcot α − cot β = d tan α tan βtan β − tan αएक ही ओर, बीच की दूरी d: h = dcot α − cot β = d tan α tan βtan β − tan α
Opposite sides, total d: h = dcot α + cot βविपरीत ओर, कुल d: h = dcot α + cot β
30° and 60° same side: h = √32 × gap; distances 3 : 1एक ही ओर 30° और 60°: h = √32 × बीच की दूरी; दूरियाँ (Distances) 3 : 1
Complementary angles from a and b (same side): h = √(ab)a और b दूरी से एक ही ओर पूरक कोण (Complementary angles): h = √(ab)
Object on top seen from one point at distance d: upper part = d (tan β − tan α)d दूरी के एक बिंदु (Point) से ऊपर रखी वस्तु: ऊपर वाला हिस्सा = d (tan β − tan α)
Same point, angle raised from 30° to 60° ⇒ new height = 3 × old heightउसी बिंदु (Point) से कोण (Angle) 30° से 60° ⇒ नई ऊँचाई (Height) = 3 × पुरानी ऊँचाई

Two objects and moving objects

From the taller top (depressions α to top, β to foot): d = H cot β, h = H − d tan αऊँची वस्तु के शीर्ष से (शीर्ष तक अवनमन α, निचले सिरे तक β): d = H cot β, h = H − d tan α
From the shorter top (elevation α, depression β): d = h cot β, H = h + d tan αछोटी वस्तु के शीर्ष से (उन्नयन α, अवनमन β): d = h cot β, H = h + d tan α
Depressions 30°/60° from a tower ⇒ other object = 23 of the tower; elevation 60° + depression 30° from a pole ⇒ tower = 4 × poleमीनार से अवनमन कोण (Angles of depression) 30°/60° ⇒ दूसरी वस्तु = मीनार की 23; खंभे से उन्नयन 60° + अवनमन 30° ⇒ मीनार = 4 × खंभा
Midway point: H₁ : H₂ = tan θ₁ : tan θ₂ठीक बीच का बिंदु (Point): H₁ : H₂ = tan θ₁ : tan θ₂
Horizontal motion at height h: distance = h (cot β − cot α); vertical motion at distance d: rise = d (tan θ₂ − tan θ₁); speed = distancetimeh ऊँचाई (Height) पर क्षैतिज गति: दूरी = h (cot β − cot α); d दूरी पर ऊर्ध्वाधर गति: ऊपर उठी दूरी = d (tan θ₂ − tan θ₁); चाल (Speed) = दूरीसमय

Broken trees, slopes and cones

Broken tree: H = x + y, y = xsin θ (30°: H = 3x)टूटा पेड़: H = x + y, y = xsin θ (30°: H = 3x)
Slope s at θ: rise = s sin θ, horizontal = s cos θθ कोण (Angle) की ढलान पर s: चढ़ाई = s sin θ, क्षैतिज = s cos θ
Conical heap with base angle θ: r = h cot θ, l = h cosec θआधार कोण (Angle) θ वाला शंकु (Cone) आकार का ढेर: r = h cot θ, l = h cosec θ
Steady speed towards the foot: time left = t × remaining distancedistance coveredपैर की ओर स्थिर चाल: बचा समय = t × बची दूरीतय की गई दूरी

31. Data Interpretation Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

Read the title, units ("in thousands", "in ₹ lakh") and legend before the first question.पहले प्रश्न से पहले शीर्षक (Title), इकाई (Units) ("हज़ार में", "₹ लाख में") और संकेत (Legend) पढ़ें।
Calculate a total once and reuse it for all the questions of the set.कुल एक बार निकालें और set के सभी प्रश्नों में उसी को काम में लो।
In "what % of" and "what % more/less than", the quantity after "of" or "than" is the base."का कितना %" और "से कितना % अधिक/कम" में "का" या "से" वाली राशि ही आधार (Base) है।
Overall percentage = total part ÷ total whole; do not average the percentages unless the bases are equal.कुल प्रतिशत (Percentage) = कुल भाग ÷ कुल पूरा; अगर आधार बराबर न हों तो प्रतिशतों का औसत (Average) मत लो।
The biggest jump and the biggest percentage jump can fall in different years, so divide by the earlier value.सबसे बड़ी छलाँग और सबसे बड़ी प्रतिशत (Percentage) छलाँग अलग-अलग सालों में हो सकती हैं, इसलिए पहले वाले मान (Value) से भाग दो।
Average annual increase from year 1 to year n = (last − first) ÷ (n − 1).साल 1 से साल n तक औसत (Average) वार्षिक वृद्धि = (आख़िरी − पहला) ÷ (n − 1)।
Pie chart: 1% = 3.6°, 10% = 36°, 25% = 90°. Check whether the chart is in % or in degrees.Pie chart: 1% = 3.6°, 10% = 36°, 25% = 90°। जाँच लें कि chart % में है या degree में।
Given the value of some sectors? Find the value of 1% (or 1°) first, and the whole chart opens up.कुछ त्रिज्यखंडों (Sectors) का मान (Value) दिया है? पहले 1% (या 1°) का मान निकालें, पूरा chart खुल जाएगा।
Ratios between sectors need no total: ratio of values = ratio of percentages = ratio of angles.त्रिज्यखंडों (Sectors) के अनुपात (Ratio) के लिए कुल नहीं चाहिए: मानों (Values) का अनुपात = प्रतिशतों (Percentages) का अनुपात = कोणों (Angles) का अनुपात।
In a double bar or two-line graph, put your finger on the legend before every question.Double bar या दो रेखाओं (Lines) वाले graph में हर प्रश्न से पहले संकेत (Legend) पर उँगली रखें।
Missing cell = given total − known cells. Fill only what the question needs.गायब खाना = दिया गया कुल − पता खाने। सिर्फ़ वही भरें जो प्रश्न को चाहिए।
Percentage + ratio tables: first the group (percent of total), then the split (ratio of that group).प्रतिशत (Percentage) + अनुपात (Ratio) वाली तालिकाएँ: पहले समूह (कुल का प्रतिशत), फिर बँटवारा (उसी समूह का अनुपात)।
A combined strike rate or an overall profit % comes from totals; the simple average of the rates is the trap option.मिला-जुला strike rate या कुल लाभ (Profit) % कुल योगों से आता है; दरों का सीधा औसत (Average) गलत विकल्प है।
Approximate only when the options are far apart; if they are close, calculate exactly.लगभग मान तभी लो जब विकल्प दूर-दूर हों; पास-पास हों तो पूरी गणना करें।
Use the ratio for more/less: A : B = 4 : 5 ⇒ B is 14 = 25% more than A, and A is 15 = 20% less than B.अधिक/कम के लिए अनुपात (Ratio) का प्रयोग करें: A : B = 4 : 5 ⇒ B, A से 14 = 25% अधिक है, और A, B से 15 = 20% कम है।
Units like "in hundreds" or "in '000" apply to every value of the chart. Work in chart units and convert once at the end."सैकड़ों में" या "'000 में" जैसी इकाई (Unit) chart के हर मान (Value) पर लागू होती है। Chart की इकाई में ही काम करें और आख़िर में एक बार बदलें।
Rate × quantity (₹ per litre, ₹ per unit): add or subtract the quantities first, then multiply once.दर (Rate) × मात्रा (₹ प्रति litre, ₹ प्रति इकाई): पहले मात्राएँ जोड़ें या घटाएँ, फिर एक बार गुणा करें।
In a percent pie, a gap of k percentage points between two sectors = 3.6k° in their central angles.प्रतिशत वाले pie में दो त्रिज्यखंडों (Sectors) के बीच k प्रतिशत अंकों का अंतर = उनके केंद्रीय कोणों (Central angles) में 3.6k° का अंतर।
A change in a percentage is in percentage points; a percent change divides by the old percentage.किसी प्रतिशत में बदलाव प्रतिशतांक में बताया जाता है; प्रतिशत बदलाव पुराने प्रतिशत से भाग देकर निकलता है।
Caselet: turn the sentences into a small table first, and use every sentence once.केसलेट: पहले वाक्यों से छोटी तालिका बनाएँ, और हर वाक्य का एक बार प्रयोग करें।
Class frequency on an ogive is the difference of two cf readings, not a cf reading itself.तोरण पर वर्ग की बारंबारता दो cf पाठों का अंतर होती है, कोई एक cf पाठ नहीं।

Basic DI calculations

Average = Sum of valuesNumber of valuesऔसत (Average) = मानों का योगमानों की संख्या
A as % of B = AB × 100A, B का % = AB × 100
A is more/less than B by |A − B|B × 100 % (B = base)A, B से |A − B|B × 100 % अधिक/कम (B = आधार (Base))
Overall % = Total obtainedTotal maximum × 100, not the average of the percentages (unless all the maximums are equal)कुल % = कुल प्राप्तकुल अधिकतम × 100; यह प्रतिशतों (Percentages) का औसत (Average) नहीं है (जब तक सबके अधिकतम अंक बराबर न हों)
If A : B = a : b with a > b, then A is a − bb × 100 % more and B is a − ba × 100 % lessअगर A : B = a : b और a > b, तो A, a − bb × 100 % अधिक और B, a − ba × 100 % कम

Growth

Increase = New − Old; % increase = New − OldOld × 100बढ़त = नया − पुराना; % वृद्धि = नया − पुरानापुराना × 100
Average annual increase = Last − FirstNumber of years − 1औसत (Average) वार्षिक वृद्धि = आख़िरी − पहलासालों की संख्या − 1
Biggest increase ≠ biggest % increase (the base matters)सबसे बड़ी बढ़त ≠ सबसे बड़ी % वृद्धि (आधार (Base) मायने रखता है)

Pie chart

100% = 360°; 1% = 3.6°; 1° = 518%
Central angle = ValueTotal × 360° = % share × 3.6°केंद्रीय कोण (Central angle) = मानकुल × 360° = % हिस्सेदारी × 3.6°
Value = % share100 × Total = Angle360 × Totalमान (Value) = % हिस्सेदारी100 × कुल = कोण360 × कुल
Given a part: value of 1% = Partits %; value of 1° = Partits angleकोई हिस्सा दिया हो: 1% का मान (Value) = हिस्साउसका %; 1° का मान = हिस्साउसका कोण
5% = 18°, 10% = 36°, 12.5% = 45°, 15% = 54°, 20% = 72°, 25% = 90°, 30% = 108°, 40% = 144°

Formula-based charts

Runs = Strike rate × Balls100; combined SR = Total runsTotal balls × 100रन = Strike rate × गेंदें100; मिला-जुला SR = कुल रनकुल गेंदें × 100
SP = CP × 100 + P%100 or CP × 100 − L%100SP = CP × 100 + P%100 या CP × 100 − L%100
SI = P × R × T100; Fuel = DistanceMileage; Income = Expenditure + SavingsSI = P × R × T100; ईंधन = दूरीMileage; आय = व्यय + बचत
Group split in a : b ⇒ first part = aa + b × groupसमूह का a : b में बँटवारा ⇒ पहला हिस्सा = aa + b × समूह

Caselets, graphs of grouped data and radar charts

Percentage points: new % − old %; percent change: new % − old %old % × 100प्रतिशतांक: नया % − पुराना %; प्रतिशत बदलाव: नया % − पुराना %पुराना % × 100
1 lakh = 10⁵, 1 crore = 10⁷ = 100 lakh; convert to one unit before adding1 लाख = 10⁵, 1 करोड़ = 10⁷ = 100 लाख; जोड़ने से पहले एक ही इकाई में बदलें
Caselet overlap: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B); Neither = Total − n(A ∪ B)केसलेट में साझा भाग: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B); कोई नहीं = कुल − n(A ∪ B)
Frequency density = fwidth; class frequency = cf(upper) − cf(lower); median from ogive at N2बारंबारता घनत्व = fचौड़ाई; वर्ग की बारंबारता = cf(ऊपरी) − cf(निचली); तोरण से माध्यिका (Median) N2 पर
Radar chart: value = distance from the centre along the spoke; compare two shapes spoke by spokeरडार चार्ट: मान = अर के साथ केंद्र से दूरी; दो आकृतियों की तुलना अर-दर-अर

32. Elementary Statistics Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

Median, mode, range, quartiles: first sort the data and count n.माध्यिका (Median), बहुलक (Mode), परिसर (Range), चतुर्थक (Quartiles): पहले आँकड़ों को क्रम में लगाएँ और n गिनें।
Frequency table: divide Σfx by Σf, never by the number of rows.बारंबारता सारणी (Frequency table): Σfx को Σf से भाग दो, पंक्तियों की गिनती से कभी नहीं।
Grouped data uses class marks for the mean; take an assumed mean from the middle to keep numbers small.वर्गीकृत आँकड़ों (Grouped data) में माध्य (Mean) के लिए वर्ग चिह्न (Class marks) लो। संख्याएँ छोटी रखने के लिए कल्पित माध्य (Assumed mean) बीच से लो।
Wrongly read values: correct the sum (− wrong + right), then divide by n.गलत पढ़े गए मान (Values): योग ठीक करें (− गलत + सही), फिर n से भाग दो।
Even n: median = average of the two middle values.सम (Even) n: माध्यिका (Median) = बीच के दो मानों (Values) का औसत (Average)।
Grouped median: median class is where cf first reaches N2; use the cf of the class before it.वर्गीकृत माध्यिका (Median): माध्यिका वर्ग वहाँ है जहाँ cf पहली बार N2 तक पहुँचे; उससे पहले वाले वर्ग की cf लो।
Values in AP: median = mean.AP वाले मान (Values): माध्यिका (Median) = माध्य (Mean)।
Mode = 3 Median − 2 Mean: the 3 goes with the median.बहुलक (Mode) = 3 माध्यिका (Median) − 2 माध्य (Mean): 3 हमेशा माध्यिका के साथ जाता है।
Sample variance divides by (n − 1); SD = √variance.प्रतिदर्श प्रसरण (Sample variance) में (n − 1) से भाग देते हैं; SD = √प्रसरण।
Σ(x − x̄) = 0; Σ|x − x̄| = 2 × (sum of deviations above the mean).Σ(x − x̄) = 0; Σ|x − x̄| = 2 × (माध्य (Mean) से ऊपर वाले विचलनों (Deviations) का योग)।
Adding k to every value: centre moves by k, spread (range, SD) stays the same.हर मान (Value) में k जोड़ें: केंद्र k से खिसकता है, फैलाव (परिसर (Range), SD) वही रहता है।
Multiplying by k: SD × |k|, variance × k².k से गुणा करने पर: SD × |k|, प्रसरण (Variance) × k²।
Quartile position = n + 14; for fractional positions use value + fraction × gap; QD is half of the IQR.चतुर्थक (Quartile) का स्थान = n + 14; भिन्न वाले स्थान पर मान (Value) + भिन्न (Fraction) × अंतर लो; QD, IQR का आधा है।
Mean = mode ⇒ coefficient of skewness = 0.माध्य (Mean) = बहुलक (Mode) ⇒ विषमता गुणांक (Coefficient of skewness) = 0।
Ordered data with unknowns: after finding x, check that the data is still in ascending order.अज्ञात वाले क्रमबद्ध आँकड़े (Data): x निकालने के बाद जाँच लें कि आँकड़े अब भी आरोही क्रम (Ascending order) में हैं।
Grouped mode: modal class = highest frequency; f₀ and f₂ are the frequencies of the classes just before and after it.वर्गीकृत बहुलक (Mode): बहुलक वर्ग (Modal class) = सबसे ज़्यादा बारंबारता (Frequency) वाला वर्ग; f₀ और f₂ उससे ठीक पहले और बाद वाले वर्गों की बारंबारताएँ हैं।
Coefficient of MD: divide by the centre the MD was taken about, the mean or the median.MD गुणांक (Coefficient of MD): उसी केंद्र से भाग दो जिसके सापेक्ष MD लिया गया था, माध्य (Mean) या माध्यिका (Median)।
Percentile position = k(n + 1)100; P₂₅ = Q₁, P₅₀ = median, P₇₅ = Q₃.शतमक (Percentile) का स्थान = k(n + 1)100; P₂₅ = Q₁, P₅₀ = माध्यिका (Median), P₇₅ = Q₃।
A graph is only a frequency table in disguise: read the frequencies first, then use the usual formula.आलेख वास्तव में एक बारंबारता सारणी ही है: पहले बारंबारताएँ पढ़ें, फिर वही सामान्य सूत्र (Formulae) लगाएँ।
Where the two ogives meet, the x-value is the median and the y-value is N/2.जहाँ दोनों तोरण मिलते हैं, वहाँ x-मान माध्यिका (Median) है और y-मान N/2 है।
A misread value changes both Σx and Σx²; correct the sums, never the SD directly.गलत पढ़ा गया मान Σx और Σx² दोनों बदल देता है; योगों को सुधारो, SD को सीधे कभी नहीं।

Basics of data

N = Σf (total frequency); cumulative frequency = running total of fN = Σf (कुल बारंबारता, Frequency); संचयी बारंबारता (Cumulative frequency) = f का चलता हुआ योग
Class mark = lower limit + upper limit2; class width h = upper limit − lower limitवर्ग चिह्न (Class mark) = निम्न सीमा + उच्च सीमा2; वर्ग की चौड़ाई (Class width) h = उच्च सीमा − निम्न सीमा

Mean

x̄ = Σxn; frequency / grouped data: x̄ = ΣfxΣfx̄ = Σxn; बारंबारता / वर्गीकृत आँकड़े (Grouped data): x̄ = ΣfxΣf
Assumed mean: x̄ = A + ΣfdΣf; step deviation: x̄ = A + ΣfuΣf × h, u = x − Ahकल्पित माध्य (Assumed mean): x̄ = A + ΣfdΣf; पद-विचलन (Step deviation): x̄ = A + ΣfuΣf × h, u = x − Ah
Σ(x − x̄) = 0; combined mean = n₁x̄₁ + n₂x̄₂n₁ + n₂Σ(x − x̄) = 0; संयुक्त माध्य (Combined mean) = n₁x̄₁ + n₂x̄₂n₁ + n₂
Correct mean = wrong sum − wrong values + correct valuesnसही माध्य (Mean) = गलत योग − गलत मान + सही मानn
Mean of 1, 2, …, n = n + 12; mean of an AP = first + last21, 2, …, n का माध्य (Mean) = n + 12; AP का माध्य = पहला + आख़िरी2

Median and mode

n odd: (n + 12)th value; n even: average of (n2)th and (n2 + 1)th values (data in order)n विषम: (n + 12)वाँ मान (Value); n सम: (n2)वें और (n2 + 1)वें मानों का औसत (Average) (आँकड़े क्रम में हों)
Grouped median = l + N2 − cff × h (cf of the class before the median class)वर्गीकृत माध्यिका (Median) = l + N2 − cff × h (माध्यिका वर्ग से पहले वाले वर्ग की cf)
Mode = most frequent value; grouped mode = l + f₁ − f₀2f₁ − f₀ − f₂ × hबहुलक (Mode) = सबसे ज़्यादा बार आने वाला मान (Value); वर्गीकृत बहुलक = l + f₁ − f₀2f₁ − f₀ − f₂ × h
Empirical relation: Mode ≈ 3 Median − 2 Mean; Mean = 3 Median − Mode2आनुभविक संबंध (Empirical relation): बहुलक (Mode) ≈ 3 माध्यिका (Median) − 2 माध्य (Mean); माध्य = 3 माध्यिका − बहुलक2
Symmetrical: Mean = Median = Mode; positive skew: Mean > Median > Mode; negative skew: Mean < Median < Modeसममित (Symmetrical): माध्य (Mean) = माध्यिका (Median) = बहुलक (Mode); धनात्मक विषमता: माध्य > माध्यिका > बहुलक; ऋणात्मक विषमता: माध्य < माध्यिका < बहुलक

Dispersion

Range = H − L; coefficient of range = H − LH + Lपरिसर (Range) = H − L; परिसर गुणांक (Coefficient of range) = H − LH + L
MD = Σ|x − x̄|n (or about median); coefficient of MD = MDmean (or MDmedian)MD = Σ|x − x̄|n (या माध्यिका (Median) के सापेक्ष); MD गुणांक (Coefficient) = MDमाध्य (या MDमाध्यिका)
Variance σ² = Σ(x − x̄)²n = Σx²n − x̄²; SD = √varianceप्रसरण (Variance) σ² = Σ(x − x̄)²n = Σx²n − x̄²; SD = √प्रसरण
Sample variance s² = Σ(x − x̄)²n − 1प्रतिदर्श प्रसरण (Sample variance) s² = Σ(x − x̄)²n − 1
CV = σx̄ × 100विचरण गुणांक (Coefficient of variation) CV = σx̄ × 100
Variance of 1, 2, …, n = n² − 112; AP with difference d: n² − 112 × d²1, 2, …, n का प्रसरण (Variance) = n² − 112; d अंतर वाली AP: n² − 112 × d²
Q₁ = (n + 14)th, Q₃ = (3(n + 1)4)th, P_k = (k(n + 1)100)th valueQ₁ = (n + 14)वाँ, Q₃ = (3(n + 1)4)वाँ, P_k = (k(n + 1)100)वाँ मान (Value)
IQR = Q₃ − Q₁; QD = Q₃ − Q₁2; coefficient of QD = Q₃ − Q₁Q₃ + Q₁IQR = Q₃ − Q₁; QD = Q₃ − Q₁2; QD गुणांक (Coefficient of QD) = Q₃ − Q₁Q₃ + Q₁
Karl Pearson skewness: Sk = Mean − ModeSD; using the empirical relation, Sk = 3(Mean − Median)SDKarl Pearson विषमता गुणांक (Skewness): Sk = माध्य − बहुलकSD; आनुभविक संबंध से, Sk = 3(माध्य − माध्यिका)SD

Change of origin and scale

Add k to all: mean, median, mode, quartiles + k; range, MD, QD, SD, variance unchangedसबमें k जोड़ें: माध्य (Mean), माध्यिका (Median), बहुलक (Mode), चतुर्थक (Quartiles) + k; परिसर (Range), MD, QD, SD, प्रसरण (Variance) वही
Multiply all by k: mean, median, mode × k; range, MD, QD, SD × |k|; variance × k²सबको k से गुणा करें: माध्य (Mean), माध्यिका (Median), बहुलक (Mode) × k; परिसर (Range), MD, QD, SD × |k|; प्रसरण (Variance) × k²
y = ax + b ⇒ ȳ = ax̄ + b, σ_y = |a|σ_x

Graphs, cumulative frequency and sums

Pie chart in %: mean = Σ(x × %)100; in degrees: mean = Σ(x × angle)360प्रतिशत वाला पाई चार्ट: माध्य (Mean) = Σ(x × %)100; अंश वाला: माध्य = Σ(x × कोण)360
Σx = n x̄; Σx² = n(σ² + x̄²)
Frequency of a class from cf: less-than cf(this) − cf(previous); more-than cf(this) − cf(next)cf से वर्ग की बारंबारता: से कम में cf(यह) − cf(पिछला); से अधिक में cf(यह) − cf(अगला)
Less-than and more-than ogives meet at (median, N2)से कम और से अधिक तोरण (माध्यिका (Median), N2) पर मिलते हैं

33. Probability, Permutation & Combination Chapter पढ़ें →Read chapter →

Quick revision

First ask: does order matter? Yes → permutation, no → combination.पहले पूछें: क्या क्रम (Order) मायने रखता है? हाँ → क्रमचय (Permutation), नहीं → संचय (Combination)।
Multiply inside a case, add across cases.स्थिति के अंदर गुणा, स्थितियों के बीच जोड़।
Fill the restricted box first (even/odd digit, no 0 in front, vowel at start).शर्त वाला बॉक्स पहले भरें (सम/विषम अंक, आगे 0 नहीं, शुरू में स्वर)।
Repeated letters: divide by the factorial of each letter's repeat count.दोहराए गए अक्षर: हर अक्षर जितनी बार आया है, उतने के क्रमगुणित (Factorial) से भाग दो।
Together → glue into one block; apart → gap method (k free things make k + 1 gaps).साथ → एक ब्लॉक में चिपकाओ; अलग → खाली जगह वाला तरीका (k खुली चीज़ों से k + 1 खाली जगहें)।
Round table (n − 1)!, necklace (n − 1)!2.गोल मेज़ (n − 1)!, हार या माला (n − 1)!2।
Triangles from a polygon or from points (no three collinear) = ⁿC₃; diagonals = n(n − 3)2.बहुभुज (Polygon) के शीर्षों से, या ऐसे बिंदुओं (Point) से जिनमें कोई तीन संरेख (Collinear) न हों, त्रिभुज (Triangle) = ⁿC₃; विकर्ण (Diagonals) = n(n − 3)2।
Selection then performance in order = ⁿC_r × r!.पहले चयन, फिर क्रम से प्रदर्शन = ⁿC_r × r!।
Probability = favourable ÷ total, both counted the same way.प्रायिकता (Probability) = अनुकूल ÷ कुल, और दोनों एक ही ढंग से गिने जाएँ।
Two dice: 36 ordered outcomes; sum 7 has the most ways (6).दो पासे: 36 क्रम वाले परिणाम; योग 7 के तरीके सबसे ज़्यादा (6) हैं।
"Divisible by both a and b" means divisible by their LCM."a और b दोनों से विभाज्य (Divisible)" का मतलब उनके लघुत्तम समापवर्त्य (LCM) से विभाज्य।
At least one = 1 − none; it is almost always the fastest route.कम से कम एक = 1 − एक भी नहीं; यह लगभग हमेशा सबसे तेज़ रास्ता है।
When the host who knows the answer opens all the other doors except one, switching wins exactly when your first pick was wrong: P = 1 − 1n.जब उत्तर जानने वाला मेज़बान एक को छोड़कर बाकी सारे दरवाज़े खोल दे, तो बदलने पर जीत ठीक तब होती है जब पहला चुनाव ग़लत था: P = 1 − 1n।
Exactly r successes out of n: never forget the ⁿC_r.n में से ठीक r सफलताएँ: ⁿC_r कभी मत भूलना।
Machine and defective questions: route = share × rate; total = sum of the routes; "given defective" = one route ÷ total.मशीन और ख़राब वस्तु वाले प्रश्न: रास्ता = हिस्सा × दर; कुल = सारे रास्तों का जोड़; "ख़राब है, यह दिया हो" तो एक रास्ता ÷ कुल।
Probability always lies between 0 and 1; an option outside this range is wrong at once.प्रायिकता (Probability) हमेशा 0 और 1 के बीच होती है; इस दायरे से बाहर वाला विकल्प तुरंत ग़लत है।
ⁿC_r = ⁿC_{n − r}: always calculate with the smaller of r and n − r.ⁿC_r = ⁿC_{n − r}: हिसाब हमेशा r और n − r में से छोटे वाले से करें।
Without replacement, change both the numerator and the denominator for every next draw.बिना वापस रखे निकालने में हर अगली बार अंश (Numerator) और हर (Denominator) दोनों बदलें।
At a round table, fix one unit and arrange the rest in a line; divide by 2 only for a necklace or garland.गोल मेज़ पर एक इकाई तय करें और बाकी को पंक्ति की तरह जमाएँ; 2 से भाग केवल हार या माला में।
A shortest grid path is a word of R's and U's; through a fixed point, multiply the two halves.ग्रिड का सबसे छोटा पथ R और U का एक शब्द है; किसी तय बिंदु (Point) से होकर जाना हो तो दोनों हिस्सों को गुणा करें।
Rank of a word: count smaller unused letters × (letters left)! at every place, then add 1.शब्द का क्रमांक: हर स्थान पर छोटे बचे अक्षर × (बचे अक्षर)! गिनें, फिर 1 जोड़ें।
Identical objects: stars and bars; different objects: factorials, and divide by m! only for equal unnamed groups.एक जैसी चीज़ें: तारे और डंडे; अलग-अलग चीज़ें: factorial, और m! से भाग केवल बराबर बिना नाम वाले समूहों में।
"Given that" shrinks the sample space: count again only inside the given condition."दिया है कि" प्रतिदर्श समष्टि (Sample space) को छोटा कर देता है: केवल दी गई शर्त के अंदर दोबारा गिनें।

Counting basics

n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1; 0! = 1
3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, 6! = 720, 7! = 5040, 8! = 40320
AND (one step after another) → multiply; OR (either–or, no overlap) → addAND (एक चरण के बाद दूसरा) → गुणा; OR (या–या, कुछ साझा नहीं) → जोड़
r-digit numbers from n different digits: with repetition n^r; without repetition ⁿP_r. If 0 is one of the n digits: with repetition (n − 1) × n^{r − 1}, without repetition ⁿP_r − ^{n − 1}P_{r − 1}n अलग-अलग अंकों से r अंकों वाली संख्याएँ: दोहराव के साथ n^r; बिना दोहराव ⁿP_r। अगर n अंकों में 0 भी है: दोहराव के साथ (n − 1) × n^{r − 1}, बिना दोहराव ⁿP_r − ^{n − 1}P_{r − 1}

Permutations

ⁿP_r = n!(n − r)!; ⁿP_n = n!
Identical things: n!p! q! r!एक जैसी चीज़ें: n!p! q! r!
k things always together: (n − k + 1)! × k! (inside arrangement 1 if the k are identical)k चीज़ें हमेशा साथ: (n − k + 1)! × k! (अगर k चीज़ें एक जैसी हों तो अंदर की व्यवस्था 1)
No two of k things together: m! × ^{m + 1}P_k (m = free things)k में से कोई दो साथ नहीं: m! × ^{m + 1}P_k (m = खुली चीज़ें)
Round table: (n − 1)!; necklace / garland: (n − 1)!2गोल मेज़: (n − 1)!; हार / माला: (n − 1)!2

Combinations

ⁿC_r = n!r!(n − r)! = ⁿP_rr!; ⁿC_r = ⁿC_{n − r}
ⁿC₀ = ⁿC_n = 1; ⁿC_a = ⁿC_b (a ≠ b) ⇒ a + b = n; Σ ⁿC_r = 2ⁿ
Particular one included: ^{n − 1}C_{r − 1}; excluded: ^{n − 1}C_rख़ास व्यक्ति शामिल: ^{n − 1}C_{r − 1}; बाहर: ^{n − 1}C_r
Lines ⁿC₂; triangles ⁿC₃; m collinear: ⁿC₂ − ^mC₂ + 1, ⁿC₃ − ^mC₃रेखाएँ (Lines) ⁿC₂; त्रिभुज (Triangles) ⁿC₃; m संरेख (Collinear) हों तो: ⁿC₂ − ^mC₂ + 1, ⁿC₃ − ^mC₃
Diagonals of n-gon = n(n − 3)2; handshakes = ⁿC₂; gifts exchanged = n(n − 1)n भुजाओं (Side) वाले बहुभुज (Polygon) के विकर्ण (Diagonals) = n(n − 3)2; हाथ मिलाना = ⁿC₂; उपहारों का लेन-देन = n(n − 1)

Probability

P(E) = n(E)n(S); 0 ≤ P ≤ 1; P(E') = 1 − P(E)
n coins: 2ⁿ outcomes; n dice: 6ⁿ; two-dice sum s: s − 1 ways (s ≤ 7), 13 − s ways (s ≥ 7)n सिक्के: 2ⁿ परिणाम; n पासे: 6ⁿ; दो पासों का योग s: s − 1 तरीके (s ≤ 7), 13 − s तरीके (s ≥ 7)
Cards: 52; 4 suits × 13; 26 red, 26 black; 12 face cards (J, Q, K)ताश: 52 पत्ते; 4 रंग (Suits) × 13; 26 लाल, 26 काले; 12 तस्वीर वाले पत्ते (J, Q, K)
Odds in favour a : b ⇒ P = aa + b; 53 Sundays: leap year 27, non-leap 17पक्ष में संयोगानुपात (Odds) a : b ⇒ P = aa + b; 53 रविवार: लीप वर्ष 27, साधारण वर्ष 17
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); at least one = 1 − P(none)P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B); कम से कम एक = 1 − P(एक भी नहीं)
Independent: P(A ∩ B) = P(A) P(B); exactly r of n: ⁿC_r p^r q^{n − r}स्वतंत्र (Independent): P(A ∩ B) = P(A) P(B); n में से ठीक r: ⁿC_r p^r q^{n − r}
Total probability: P(D) = Σ P(source) × P(D | source); Bayes: P(A | D) = P(A) P(D | A)P(D)कुल प्रायिकता (Probability): P(D) = Σ P(स्रोत) × P(D | स्रोत); Bayes: P(A | D) = P(A) P(D | A)P(D)
Expected value E = Σ x P(x); trials till first success = 1p; fair coin, n heads in a row = 2^{n + 1} − 2 flipsप्रत्याशित मान (Expected value) E = Σ x P(x); पहली सफलता तक प्रयास = 1p; सही सिक्का, लगातार n चित = 2^{n + 1} − 2 उछाल

More counting results

Round table, two together: (n − 2)! × 2; never together: (n − 1)! − 2(n − 2)!; m men and m women alternately: (m − 1)! × m!गोल मेज़, दो साथ: (n − 2)! × 2; कभी साथ नहीं: (n − 1)! − 2(n − 2)!; m पुरुष और m महिलाएँ एकांतर: (m − 1)! × m!
Shortest grid paths, m right and n up: (m + n)!m! n!ग्रिड के सबसे छोटे पथ, m दाएँ और n ऊपर: (m + n)!m! n!
League once: ⁿC₂; home and away: n(n − 1); knockout: n − 1 matchesलीग एक बार: ⁿC₂; अपने और विरोधी मैदान पर: n(n − 1); नॉकआउट: n − 1 मैच
ⁿC_r + ⁿC_{r − 1} = ^{n + 1}C_r; ⁿC_rⁿC_{r − 1} = n − r + 1r
Rank of a word = (words before it) + 1शब्द का क्रमांक = (उससे पहले के शब्द) + 1
Identical objects: ^{n + r − 1}C_{r − 1} (zero allowed), ^{n − 1}C_{r − 1} (each ≥ 1); different objects: rⁿएक जैसी चीज़ें: ^{n + r − 1}C_{r − 1} (शून्य चलता है), ^{n − 1}C_{r − 1} (हर एक ≥ 1); अलग-अलग चीज़ें: rⁿ
Conditional probability: P(A | B) = P(A ∩ B)P(B)सप्रतिबंध प्रायिकता (Probability): P(A | B) = P(A ∩ B)P(B)

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Quick revision

Every person sits in exactly one region; all regions add up to the total.हर व्यक्ति ठीक एक क्षेत्र में होता है; सारे क्षेत्र मिलकर कुल बनाते हैं।
Union = A + B − both. The minus removes the double count.संघ = A + B − दोनों। घटाने से दोहरी गिनती हटती है।
Neither = Total − union. 'Everyone likes at least one' means neither = 0.कोई भी नहीं = कुल − संघ। 'हर कोई कम से कम एक पसंद करता है' का मतलब कोई भी नहीं = 0।
'Likes A' includes those who like both; 'only A' does not.'A पसंद करते हैं' में दोनों वाले शामिल हैं; 'केवल A' में नहीं।
Exactly one = A + B − 2 × both.ठीक एक = A + B − 2 × दोनों।
Percent data: take the total as 100, then scale once with the given count.प्रतिशत वाले आँकड़े: कुल को 100 मानो, फिर दी गई संख्या से एक बार बढ़ाओ।
Passed in both = neither region of the failed sets.दोनों में पास = फेल वाले समुच्चयों का कोई भी नहीं वाला क्षेत्र।
Relations like 'twice' or '3 : 2': put x in the region named, add all four regions.'दोगुना' या '3 : 2' जैसे संबंध: बताए गए क्षेत्र में x रखें, चारों क्षेत्र जोड़ें।
Three sets: + singles, − pairs, + triple.तीन समुच्चय: + अकेले, − जोड़ियाँ, + तीनों।
A pair figure (A and B) includes the triple unless it says 'but not C'.जोड़ी वाली संख्या (A और B) में तीनों शामिल हैं, जब तक 'पर C नहीं' न लिखा हो।
Fill a three-set diagram from the centre outwards.तीन समुच्चयों का चित्र बीच से बाहर की ओर भरें।
Exactly two = pairs − 3 × triple; at least two = pairs − 2 × triple.ठीक दो = जोड़ियाँ − 3 × तीनों; कम से कम दो = जोड़ियाँ − 2 × तीनों।
ΣA − union = exactly two + 2 × all three.ΣA − संघ = ठीक दो + 2 × तीनों।
Max overlap = smaller set; min overlap = A + B − total (not below 0).अधिकतम साझा = छोटा समुच्चय; न्यूनतम साझा = A + B − कुल (0 से कम नहीं)।
Subsets = 2ⁿ; proper subsets = 2ⁿ − 1.उपसमुच्चय = 2ⁿ; उचित उपसमुच्चय = 2ⁿ − 1।

Set basics

Subsets of an n-element set = 2ⁿ ; proper subsets = 2ⁿ − 1n अवयवों वाले समुच्चय के उपसमुच्चय = 2ⁿ ; उचित उपसमुच्चय = 2ⁿ − 1
n(A′) = n(U) − n(A) ; n(A − B) = n(A) − n(A ∩ B)
A ⊂ B ⇒ A ∩ B = A, A ∪ B = B
N ⊂ W ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ; rationals ∪ irrationals = R ; rationals ∩ irrationals = ∅N ⊂ W ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ; परिमेय (Rational) ∪ अपरिमेय (Irrational) = R ; परिमेय ∩ अपरिमेय = ∅

Two sets

n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
Total = n(A ∪ B) + Neitherकुल = n(A ∪ B) + कोई भी नहीं
Only A = n(A) − n(A ∩ B) = n(A ∪ B) − n(B)केवल A = n(A) − n(A ∩ B) = n(A ∪ B) − n(B)
Exactly one = n(A) + n(B) − 2 n(A ∩ B)ठीक एक = n(A) + n(B) − 2 n(A ∩ B)
Pass–fail: passed both = 100 − (fail A + fail B − fail both)पास–फेल: दोनों में पास = 100 − (A में फेल + B में फेल − दोनों में फेल)

Three sets

n(A ∪ B ∪ C) = ΣA − Σ(pairs) + n(A ∩ B ∩ C)n(A ∪ B ∪ C) = ΣA − Σ(जोड़ियाँ) + n(A ∩ B ∩ C)
Only A = n(A) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)केवल A = n(A) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
Exactly two = Σ(pairs) − 3 × all three ; at least two = Σ(pairs) − 2 × all threeठीक दो = Σ(जोड़ियाँ) − 3 × तीनों ; कम से कम दो = Σ(जोड़ियाँ) − 2 × तीनों
ΣA = one + 2 × two + 3 × three ; Union = one + two + threeΣA = ठीक एक + 2 × ठीक दो + 3 × तीनों ; संघ = ठीक एक + ठीक दो + तीनों
ΣA − Union = exactly two + 2 × all threeΣA − संघ = ठीक दो + 2 × तीनों

Maximum and minimum

max(A ∩ B) = smaller of n(A), n(B)max(A ∩ B) = n(A), n(B) में से छोटा
min(A ∩ B) = max(0, n(A) + n(B) − Total)min(A ∩ B) = max(0, n(A) + n(B) − कुल)
In %: min(all three) = max(0, a + b + c − 200) ; min(all four) = max(0, a + b + c + d − 300) (same population)% में: min(तीनों) = max(0, a + b + c − 200) ; min(चारों) = max(0, a + b + c + d − 300) (एक ही कुल संख्या पर)