Selection Post Phase XIV (12th)16 Sep 2026Shift 2Geometry I · Lines, Angles & Triangles
Two chords AB and CD of a circle subtend angles of 40° and 70° respectively at the centre. Find the difference between the angles subtended by these chords at points on their minor arcs.
एक वृत्त (Circle) की दो जीवाएं AB और CD केंद्र पर क्रमशः 40° और 70° का कोण (Angle) अंतरित करती हैं। इन जीवाओं (Chord) द्वारा उनके लघु चापों (Arc) पर स्थित बिंदुओं (Point) पर अंतरित कोणों के बीच का अंतर ज्ञात कीजिए।
Answer और ExplanationAnswer and explanation
Answer: (B) 15°
केंद्र O को दीर्घ चाप (Major arc) के किसी बिंदु (Point) X से मिलाएँ। △OAX और △OBX समद्विबाहु (Isosceles) हैं (OA = OX = OB), इसलिए बाह्य कोण (Exterior angle) के गुण से X पर बना कोण केंद्रीय कोण का आधा होता है: ∠AXB = 40°2 = 20°। इसी तरह जीवा (Chord) CD अपने दीर्घ चाप पर 70°2 = 35° बनाती है।
लघु चाप (Minor arc) के बिंदु Y से AXBY चक्रीय चतुर्भुज (Cyclic quadrilateral) बनता है, इसलिए ∠AYB = 180° − 20° = 160° और CD के लिए 180° − 35° = 145°।
अंतर = 160° − 145° = 15°
(दीर्घ चापों पर भी अंतर 35° − 20° = 15° ही आता है।)
✓
अंतर 15° है।
Join the centre O to a point X on the major arc. △OAX and △OBX are isosceles (OA = OX = OB), so by the exterior angle property the angle at X is half the central angle: ∠AXB = 40°2 = 20°. In the same way chord CD gives 70°2 = 35° on its major arc.
A point Y on the minor arc forms a cyclic quadrilateral AXBY, so ∠AYB = 180° − 20° = 160°, and for CD: 180° − 35° = 145°.
Difference = 160° − 145° = 15°
(On the major arcs too: 35° − 20° = 15°.)
✓
The difference is 15°.
SMART APPROACH
बिंदु (Point) लघु चाप (Arc) पर हों या दीर्घ चाप पर, अंतर हमेशा केंद्रीय कोणों (Angle) के अंतर का आधा होगा: 70° − 40°2 = 15°।
Whether the points are on the minor or the major arcs, the difference is half the difference of the central angles: 70° − 40°2 = 15°.
